针对您提出的在厂里上了45天班却没有签劳动合同的情况，以下是我的详细解答：

首先，结论明确：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。您已经在厂里工作了45天，但用人单位未与您签订劳动合同，这是不合法的。

接下来，我将从多个角度为您详细分析：

1. 法律义务与责任：

   • 用人单位有义务在用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若未在规定时间内签订，用人单位需承担向劳动者每月支付二倍工资的法律责任，直至补订劳动合同或劳动关系解除之日止。

2. 您的权益保护：

   • 尽管没有签订书面劳动合同，但您与用人单位之间已经形成了事实劳动关系。您享有劳动法规定的各项权益，如工资、福利、休息休假等。
   • 若用人单位拒绝签订劳动合同或侵害您的合法权益，您可以向当地劳动监察部门投诉，或依法申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。

3. 后续行动建议：

   • 尽快与用人单位沟通，要求签订书面劳动合同，并明确劳动合同的内容，包括工作岗位、工作时间、工资待遇等。
   • 保留好与用人单位的沟通记录、工资支付凭证等工作期间的证据，以备不时之需。
   • 若用人单位拒绝签订劳动合同或存在其他违法行为，您可以考虑向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

综上所述，用人单位未与您签订劳动合同是不合法的，您有权要求签订并享受劳动法规定的各项权益。若遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。