关于员工离职后公司不给竞业协议的问题，我们可以从以下几个方面来分析和解答：
核心结论
离职后若公司未提及竞业协议，员工应首先确认协议是否存在及其有效性，再根据实际情况决定是否履行，并保留相关证据以维护自身权益。
具体分析
确认协议存在与有效性：
- 员工应查看离职时是否与公司签订了竞业协议，或者公司是否有相关规章制度、劳动合同中是否包含竞业限制条款。
- 若存在竞业协议，需检查协议内容是否合法、合理，是否满足主体适格、内容合法合理、双方意思表示真实等条件。
公司未告知竞业协议的处理：
- 若员工离职时公司未明确告知竞业协议相关事宜，员工可主动与公司沟通，询问是否有关于竞业限制的安排或意向。
- 若公司确认存在竞业协议且要求员工履行，员工应与公司协商确定竞业限制的范围、期限、经济补偿等事宜。
- 若公司拒绝协商或协商无果，员工可向劳动争议仲裁机构申请仲裁，要求公司履行告知义务或解决因竞业协议引发的争议。
竞业协议的履行与解除：
- 若竞业协议有效且公司要求员工履行，员工需遵守协议约定的竞业限制义务。
- 若公司未按照协议约定支付经济补偿达三个月，员工可根据相关法律法规请求解除竞业限制约定。
- 员工在履行竞业协议过程中，应保留相关证据，如离职证明、沟通记录等，以便在需要时维护自身合法权益。
公司未启动竞业协议的可能原因：
- 公司可能因战略调整、业务收缩或岗位性质变化，认为无需限制员工就业范围。
- 支付竞业限制补偿金会增加财务负担，公司可能出于成本考量未启动竞业协议。
- 公司对竞业协议的法律风险评估后，认为协议条款存在漏洞或风险，选择不启动。
法律建议
- 员工在离职前应与公司明确竞业协议的相关事宜，避免后续产生纠纷。
- 若离职后公司未提及竞业协议，员工应主动沟通并保留相关证据。
- 若因竞业协议产生争议，员工可向劳动争议仲裁机构申请仲裁，维护自身权益。
综上所述，离职后公司不给竞业协议的情况下，员工应确认协议的存在与有效性，并根据实际情况决定是否履行。同时，保留相关证据以维护自身权益，并在必要时寻求法律帮助。