刑拘期间家属确实有权申请取保候审，这一权利是基于《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定。以下是对取保候审的详细解析，包括法律依据、适用条件、申请流程以及一些重要注意事项，希望能为您提供全面且深入的解答。
一、法律依据
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十七条，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属（包括家属）或者辩护人有权申请变更强制措施，这自然包括了申请取保候审的权利。司法机关在收到申请后，应在三日内作出决定，并告知申请人结果及理由。
二、取保候审的适用条件
取保候审并非随意可申请，它必须满足一定的法定条件，主要包括：
可能判处较轻刑罚：如管制、拘役或者独立适用附加刑的情况，表明犯罪嫌疑人或被告人所涉嫌的罪行相对较轻。
可能判处有期徒刑以上刑罚，但取保不致发生社会危险性：这要求综合考虑犯罪嫌疑人的犯罪性质、情节、悔罪表现等因素，判断其是否会在社会上造成危险。
特殊人群关怀：对于患有严重疾病、生活不能自理，或是怀孕、正在哺乳自己婴儿的妇女，若取保不致发生社会危险性，也可申请取保候审。
羁押期限届满，案件尚未办结：为避免超期羁押，保障被羁押人的合法权益，此时可申请取保候审。
三、取保候审的申请流程
家属在申请取保候审时，应遵循以下步骤：
准备申请材料：包括书面的取保候审申请书，详细说明申请理由和拟采取的保证方式（人保或财产保）；申请人的身份证明材料；以及与本案有关的材料（如有）。
提交申请：将准备好的申请材料提交给办案机关，通常是负责该案件的公安机关、人民检察院或人民法院。
选择保证方式：若申请被接受，家属需按照办案机关的要求选择保证方式。人保需找到符合条件的保证人，并填写保证书；财产保则需交纳一定数额的保证金。
等待决定：办案机关将在三日内对申请进行审查，并根据案件的具体情况作出是否同意取保候审的决定。若同意，将签发《取保候审决定书》；若不同意，将告知申请人并说明理由。
四、重要注意事项
取保候审的决定权：在于公安机关、人民检察院和人民法院，审批结果需根据具体案情和法律条款综合判断。
遵守取保候审规定：在取保候审期间，被取保候审人必须严格遵守相关规定，如未经执行机关批准不得擅自离开居住地等。
案件继续进行：取保候审并不等同于案件的终结，被取保候审人仍需积极配合后续的侦查、审查起诉和审判工作。
寻求专业帮助：由于取保候审的申请流程可能因地区和具体情况而有所不同，建议家属在申请前咨询当地的律师或法律服务机构，以获取更详细的信息和指导。
综上所述，家属在被亲人刑事拘留后，若满足法定条件，完全有权利也有机会为其申请取保候审。但务必遵循严格的法律程序和规定，确保每一步都合法合规。希望这些信息能对您有所帮助，如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时联系。