当劳动合同到期后，用人单位未与劳动者续签书面合同但继续用工时，确实涉及到一定的法律责任和赔偿问题。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定：
- 第十条：建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
- 第八十二条：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
二、赔偿方式及计算标准
双倍工资差额
- 适用条件：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同。
- 计算标准：双倍工资差额的计算基数是劳动者实际获得的月收入，扣除加班工资、非常规性奖金、福利性、风险性等项目后的正常工作时间月工资。月工资通常指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，若工作不满十二个月，则按实际工作月数计算平均工资。
- 支付期限：从用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日，最长不超过十一个月。例如，若原合同到期后劳动者继续工作，但用人单位在第二个月仍未续签，则从第二个月开始计算双倍工资差额，直至签订新合同或劳动关系终止。
经济补偿金（如适用）
- 适用条件：若因用人单位未依法签订书面劳动合同导致劳动关系终止，或劳动者以此为由提出解除劳动合同，用人单位可能需要支付经济补偿金。
- 计算标准：经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、特殊情况与处理建议
- 劳动者不愿意签订或续签：如果是劳动者自身原因不愿续签劳动合同，那么劳动者可能无法获得上述赔偿。
- 用人单位故意拖延或违法：若用人单位故意拖延不订立劳动合同或存在其他违法行为，劳动者除了有权要求赔偿外，还可以向劳动行政部门投诉，并通过法律途径维护自己的权益。
四、主张赔偿的注意事项
- 仲裁时效：劳动者主张双倍工资差额的仲裁时效为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时主张自己的权益。
- 证据收集：劳动者应保留能证明劳动关系存续的证据，如工资条、考勤记录、工作证等，以便在维权时提供有力支持。
五、解决纠纷的途径与建议
- 沟通协商：建议双方首先进行沟通协商，尝试达成和解。
- 劳动仲裁：如果协商不成，劳动者可以向劳动仲裁委员会申请仲裁。
- 诉讼维权：对仲裁结果不服的，劳动者可以向人民法院提起诉讼。
- 风险防范：为避免类似风险，建议在劳动合同到期前及时与用人单位沟通续签事宜，并确保新合同的签订符合法律法规要求。
综上所述，劳动合同到期后未续签的赔偿责任需根据具体情况分析。劳动者应及时主张自己的权益，并注意收集相关证据。同时，用人单位也应遵守法律规定，及时与劳动者续签劳动合同，以避免不必要的法律风险。