结论：房东不退押金并私自卖掉租客的空调，这一行为可能涉及违法，具体取决于空调的所有权归属以及房东的行为性质。
分析角度一：空调的所有权归属
若空调为租客所有：
- 如果空调是租客自己购买并安装在出租房屋内的，那么空调的所有权归租客所有。
- 房东未经租客同意，私自卖掉租客的空调，这构成了对租客财产权的侵犯，属于违法行为。租客有权要求房东赔偿空调的损失，并可能追究房东的法律责任。
若空调为房东所有：
- 如果空调是房东提供的，作为出租房屋的一部分，那么空调的所有权归房东所有。
- 但房东不退押金并私自处理空调（即使所有权归房东），这一行为可能仍然存在问题。因为押金是租客为了确保履行租赁合同中的义务而支付给房东的，房东无权因为租客的某些行为（除非合同中有明确约定）而私自扣留或处理租客的财物（在此情况下为空调的使用权或相关权益，但直接卖掉仍不恰当）。不过，从所有权角度，房东卖掉自己的空调并不直接构成对租客财产权的侵犯，但可能违反租赁合同的约定或相关法律法规中关于押金处理的规定。
分析角度二：房东的行为性质
- 房东不退押金本身可能构成违约行为，具体取决于租赁合同的约定。如果合同中明确规定了押金的退还条件和方式，房东未按照约定退还押金，则构成违约。
- 房东私自卖掉租客的空调（无论所有权归属），如果这一行为没有合法依据（如合同中的特别约定或租客的明确同意），则可能构成侵权行为或违法行为。租客可以据此要求房东承担相应的法律责任，包括赔偿损失等。
法律建议：
对于租客：
- 首先，应查看租赁合同中关于押金退还和财物处理的条款，明确双方的权利和义务。
- 如果房东的行为违反了合同约定或相关法律法规，租客可以与房东协商解决，要求房东退还押金并赔偿空调的损失。
- 如果协商无果，租客可以向当地的人民调解委员会申请调解，或者向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
对于房东：
- 应遵守租赁合同的约定和相关法律法规的规定，妥善处理押金和租客的财物。
- 如果租客存在违约行为导致房东需要扣留押金或处理财物，应在合同中有明确约定，并确保处理方式合法合规。
可能法律后果：
- 如果房东的行为被认定为违法行为或侵权行为，房东可能需要承担民事赔偿责任，包括赔偿租客的空调损失、退还押金等。
- 在严重情况下，如果房东的行为构成犯罪（如盗窃罪等），房东还可能面临刑事责任的追究。不过，这种情况相对较少见，且需要具体证据支持。
总结：房东不退押金并私自卖掉租客的空调，这一行为可能涉及违法。具体是否违法以及违法的性质，取决于空调的所有权归属以及房东的行为性质。租客和房东都应遵守租赁合同的约定和相关法律法规的规定，妥善处理押金和财物问题。如有争议，建议通过协商、调解或诉讼等方式解决。