结论：老赖单位（即被列为失信被执行人的单位）是否会被开除员工，并非由“老赖”这一身份直接决定，而是取决于单位的具体经营状况、劳动法律法规的适用以及单位与员工之间的劳动合同约定。以下从不同角度进行分析：
单位经营状况与开除决定
- 经营困难：如果单位因被列为失信被执行人而导致经营困难，资金链断裂，无法维持正常运营，那么单位可能会根据《劳动合同法》的相关规定，以“客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行”为由，与员工协商变更劳动合同内容或解除劳动合同。但这种情况下，单位需要依法支付经济补偿金。
- 正常经营：如果单位虽然被列为失信被执行人，但仍然能够维持正常经营，那么单位就没有合法的理由随意开除员工。否则，员工可以依据《劳动合同法》的规定，要求单位继续履行劳动合同或支付违法解除劳动合同的赔偿金。
劳动法律法规的适用
- 合法解除：根据《劳动合同法》的规定，单位在符合法定情形（如员工严重违反单位规章制度、严重失职给单位造成重大损害等）时，可以解除劳动合同而无需支付经济补偿金。但这些情形与单位是否被列为失信被执行人无直接关联。
- 违法解除：如果单位在没有合法理由的情况下开除员工，那么员工可以依法向劳动仲裁机构申请仲裁，要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。
劳动合同的约定
- 合同条款：劳动合同是单位与员工之间约定权利义务的重要法律文件。如果劳动合同中明确约定了单位在特定情况下（如被列为失信被执行人）可以解除劳动合同，并且这种约定不违反法律法规的强制性规定，那么单位在符合约定条件时可以开除员工。但这种情况较为少见，且需要严格审查合同条款的合法性。
- 变更或解除：即使劳动合同中有相关约定，单位在行使解除权时也需要遵循法定程序，如提前通知员工、与员工协商等。如果单位未按照法定程序操作，员工仍然可以依法维权。
建议：
- 对于员工而言，如果担心单位因被列为失信被执行人而影响自己的工作，可以密切关注单位的经营状况，及时与单位沟通了解情况。同时，保留好与单位签订的劳动合同、工资单等证据材料，以便在必要时维护自己的合法权益。
- 对于单位而言，被列为失信被执行人后应积极履行法律义务，尽快恢复信用状况。在处理与员工的关系时，应严格遵守劳动法律法规的规定，避免违法解除劳动合同等行为的发生。
后续行动：如果您或您所在的单位遇到了类似问题，或者对劳动法律法规有进一步的疑问，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。