关于您提出的“工厂出钱去体检，体检单能否拿回来”的问题，这主要取决于体检的性质以及工厂与体检机构之间的具体约定，但我可以根据一般情况和相关法律法规给您一个较为全面的解答。
首先，如果这次体检是职业健康检查，即针对从事接触职业病危害作业的劳动者进行的上岗前、在岗期间或离岗时的检查，那么根据相关规定，职业健康检查费用是由用人单位（也就是工厂）承担的。同时，用人单位应当为劳动者建立职业健康监护档案，并妥善保存。在这种情况下，您作为劳动者，在离开用人单位时，是有权索取本人职业健康监护档案复印件的，工厂应当如实、无偿提供，并在所提供的复印件上签章。虽然这里提到的是复印件，但通常原件也会由工厂或体检机构保存，而您有权获取相关信息的复印件，且在某些情况下，经过协商，您也可能获得原件或额外的体检报告。
其次，如果这次体检是一般的预防性健康检查，比如办理健康证所需的体检，那么体检单的处理方式可能会因地区和体检机构的不同而有所差异。一般来说，体检合格后，您会获得一个健康证或类似的证明文件，而体检单本身可能由体检机构保存。不过，这并不意味着您无法获取体检结果或相关报告。在大多数情况下，您可以向体检机构申请获取您的体检报告或相关记录，可能需要支付一定的复印或邮寄费用。
综合建议：
与工厂沟通：首先，您可以与工厂的人力资源部门或相关负责人沟通，了解体检的具体性质以及工厂对于体检单的处理方式。
咨询体检机构：如果工厂无法提供明确的答复，您可以直接联系体检机构，询问他们是否提供体检报告的复印件或原件，以及相关的申请流程和费用。
了解法律法规：虽然直接获取体检单原件可能因具体情况而异，但您有权了解自己的健康状况和体检结果。如果工厂或体检机构拒绝提供相关信息，您可以咨询当地的劳动保障部门或法律援助机构，了解您的权益和可行的维权途径。
希望这些解答和建议能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。