结论：合同到期超过三个月公司仍未与员工续签合同，这一行为可能涉及违法，员工有权要求公司支付未签合同期间的双倍工资差额，并可根据实际情况选择要求公司续签合同或解除劳动关系并获得相应补偿。
法律背景与解释：
双倍工资差额：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于劳动合同期满后，用人单位未与劳动者续签劳动合同的情况。
- 因此，如果合同到期已经超过三个月，公司仍未与员工续签合同，员工有权要求公司支付这三个月期间的双倍工资差额（即除正常工资外，再支付三个月的工资作为补偿）。
续签合同或解除劳动关系：
- 员工有权要求公司立即与其续签劳动合同，以维护自己的劳动权益。
- 如果员工不愿意继续在公司工作，或者公司拒绝续签合同，员工可以选择解除劳动关系，并依据《劳动合同法》的相关规定，要求公司支付经济补偿金。经济补偿金的计算通常依据员工在公司的工作年限和月工资标准来确定。
法律建议：
与公司协商：
- 首先，建议员工尝试与公司进行协商，明确表达自己的诉求和期望，看是否能够达成续签合同的协议或者获得相应的补偿。
收集证据：
- 如果协商无果，员工应开始收集相关证据，如工资条、工作证、劳动合同（如果已到期但未续签的部分）等，以证明自己与公司存在劳动关系以及合同到期未续签的事实。
申请劳动仲裁：
- 员工可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付双倍工资差额、经济补偿金等。在申请劳动仲裁时，员工需要提交相关证据和仲裁申请书，并按照仲裁委员会的要求参与仲裁程序。
寻求法律援助：
- 如果员工在劳动仲裁过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以寻求专业律师的法律援助。律师可以提供法律咨询、代理仲裁或诉讼等服务，帮助员工维护自己的合法权益。
可能的法律后果：
- 如果公司被认定存在违法未签劳动合同的行为，将面临支付双倍工资差额、经济补偿金等法律责任。
- 同时，公司的声誉和信誉也可能受到损害，影响其未来的招聘和业务发展。
进一步思考：
- 员工在维护自己权益的同时，也应考虑与公司保持良好关系的重要性。如果可能的话，通过协商解决问题往往是最优选择。
- 如果员工决定申请劳动仲裁或提起诉讼，应充分了解相关法律程序和规定，做好充分的准备和应对。
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