工人完全可以打官司来维护自己的合法权益。针对您描述的情况，我将从以下几个方面进行详细分析：

1. 未签劳动合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，工厂未与您签订劳动合同，您有权要求工厂支付未签合同期间的双倍工资差额。

2. 辞退工人的法律后果：

   • 如果工厂因经营不善等原因决定关闭，并因此辞退工人，那么工厂需要按照《中华人民共和国劳动合同法》的规定，向工人支付经济补偿。经济补偿的标准通常是根据工人在工厂的工作年限来计算的，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 如果工厂未提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资就辞退工人，那么工厂还需要支付代通知金。

3. 打官司的具体流程：

   • 准备证据：工人需要收集并整理好与工厂存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以及工厂未签劳动合同和辞退工人的相关证据。
   • 申请劳动仲裁：工人可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，提交仲裁申请书和相关证据。仲裁委员会将在收到申请后的一定期限内作出裁决。
   • 提起诉讼：如果工人对仲裁裁决不服，可以在收到裁决书后的一定期限内向人民法院提起诉讼。法院将依法审理案件，并作出判决。

4. 可能面临的挑战与应对：

   • 证据收集：由于工厂未签劳动合同，工人在收集证据时可能会面临一些困难。但工人可以通过收集工资条、工作证、同事证言等方式来证明与工厂存在劳动关系。
   • 法律程序：劳动仲裁和诉讼程序可能相对复杂，工人如果缺乏法律知识，可能会感到困惑。此时，工人可以寻求法律援助或者咨询专业律师，以更好地维护自己的合法权益。

行动建议：

• 我建议您尽快收集并整理好相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以及工厂未签劳动合同和辞退工人的相关证据。
• 然后，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，提交仲裁申请书和相关证据。
• 如果对仲裁裁决不服，您还可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。

在整个过程中，如果您遇到任何法律问题或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。