结论：工伤期间去医院发生交通事故且负同等责任的情况下，能否申请工伤需要分情况讨论，关键在于事故发生的时间、地点以及是否符合“上下班途中”的工伤认定条件。
一、若事故发生在“上下班途中”
法律背景：
- 根据《工伤保险条例》第十四条第六项的规定，职工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。
具体分析：
- 在您描述的情况下，如果去医院是出于治疗工伤的目的，且事故发生在前往医院的合理路线和合理时间内（可以视为上下班途中的一种延伸），同时您负同等责任（即非主要责任），那么理论上是可以申请工伤认定的。
- 但需要注意的是，这里的“上下班途中”通常指的是职工正常上下班的时间和路线，如果去医院的时间、路线与正常上下班存在较大偏差，可能需要进一步证明其合理性。
建议：
- 收集相关证据，如医疗证明、事故认定书、路线图等，以证明事故发生在前往医院的合理路线和合理时间内。
- 及时向用人单位报告事故情况，并申请工伤认定。
二、若事故不发生在“上下班途中”
法律背景：
- 如果事故不发生在上下班途中，那么就不直接适用《工伤保险条例》第十四条第六项的规定。
具体分析：
- 在这种情况下，能否申请工伤认定将取决于事故是否与工作有关。如果去医院是为了治疗工伤，且事故是在治疗过程中因工作原因（如前往医院途中因工作紧急情况需要处理而发生事故）发生的，那么可能仍然可以申请工伤认定，但这需要更具体的证据和情况分析。
- 如果事故纯粹是个人行为（如非工作原因前往医院，或在医院外因个人原因发生事故），那么通常无法申请工伤认定。
建议：
- 仔细分析事故发生的具体原因和背景，确定是否与工作有关。
- 如果认为可能与工作有关，及时收集相关证据，并向用人单位报告事故情况，申请工伤认定。
- 如果认为与工作无关，那么可能需要通过其他途径（如交通事故赔偿）来维护自己的权益。
三、其他注意事项
工伤认定流程：
- 工伤认定通常需要由用人单位在事故发生后的一定时间内（如30日内）向社会保险行政部门提出申请。
- 如果用人单位未提出申请，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
交通事故赔偿与工伤赔偿的关系：
- 如果同时符合交通事故赔偿和工伤赔偿的条件，职工可以同时获得这两种赔偿。但需要注意的是，某些费用（如医疗费）可能不能重复获得赔偿。
最后，工伤期间去医院发生交通事故且负同等责任的情况下，能否申请工伤需要具体分析事故发生的时间、地点以及是否与工作有关。如果您有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。