行政机关移送案件后，公安机关作出不予立案决定，行政机关再作出行政处罚的期限计算需分情况讨论，具体如下：

1. 若法律对行政处罚期限有明确规定
   根据《行政处罚法》第三十六条，违法行为在二年内未被发现的，不再给予行政处罚（涉及公民生命健康安全、金融安全且有危害后果的，期限延长至五年）。若公安机关不予立案后，行政机关在法定追诉期限内重新启动调查程序，则期限从违法行为发生之日起计算；若已超过追诉期限，则不得再处罚。
   例如：某企业2020年违法排污，行政机关2021年移送公安机关，公安机关2022年不予立案。若法律规定的追诉期为2年，则行政机关需在2022年前完成处罚；若已超期，则丧失处罚权。

2. 若法律未明确规定期限，但行政机关已立案调查
   根据《行政处罚法》第六十条，行政机关应在立案之日起九十日内作出处罚决定（经负责人批准可延长）。公安机关不予立案后，行政机关可继续调查，期限从立案之日起算，不受公安机关审查时间影响。
   例如：市场监管局2023年1月立案调查某公司虚假宣传，3月移送公安机关，公安机关5月不予立案。此时市场监管局需在90日内（即8月前）作出处罚决定。

3. 若行政机关需重新调查取证
   若公安机关不予立案后，行政机关发现原证据不足需补充调查，则期限从补充调查完成之日起重新计算。但需注意，总期限不得超过法定追诉期。
   例如：税务机关2022年查实某企业偷税，移送公安机关后因证据问题不予立案。税务机关补充调查至2023年6月完成，则需在90日内（即9月前）作出处罚决定，同时确保未超5年追诉期。

关键提醒：

• 行政机关需在公安机关不予立案决定作出后及时启动程序，避免因拖延导致超期；
  
• 若涉及跨部门协作，建议通过联席会议、案件会商等方式明确期限计算节点；
  
• 对期限计算有争议的，可依据《行政处罚法》第三十六条第二款申请行政复议或提起行政诉讼确认合法性。
  

如有具体案件细节（如违法行为类型、移送时间等），可进一步向我咨询，我会结合实体法与程序法综合分析。