针对“法院以涉刑移送后公安不立案如何处理”这一问题，核心结论如下：

1. 申请复议或复核
   根据《刑事诉讼法》第112条，若公安机关认为不构成犯罪或证据不足不予立案，法院或控告人可要求公安机关说明理由。若理由不成立，可向同级检察院申请立案监督，或向上一级公安机关申请复核。具体操作：

   • 控告人收到《不予立案通知书》后7日内，向原公安机关申请复议；
     
   • 对复议结果不服的，7日内向上一级公安机关申请复核；
     
   • 同步向检察院提交《立案监督申请书》，附上证据材料（如法院移送函、案件事实说明等）。

2. 检察院立案监督程序
   检察院需在7日内审查公安机关不立案理由，认为理由不成立的，应通知公安机关立案（第113条）。关键点：

   • 检察院可要求公安机关说明不立案理由，或直接调取案卷审查；
     
   • 公安机关收到通知后必须立案，否则检察院可通报同级政府或上级公安机关，并建议纠正。

3. 自诉程序（特定情形）
   若案件属于“被害人有证据证明的轻微刑事案件”（如侮辱、诽谤、侵占等），且公安机关不立案，被害人可直接向法院提起自诉（第210条）。注意：

   • 需提供初步证据证明犯罪事实（如聊天记录、转账记录等）；
     
   • 若证据不足，法院可能要求补充材料或驳回起诉。

4. 行政或民事救济途径
   若案件涉及经济纠纷与刑事犯罪交叉（如合同诈骗与民事欺诈争议），可同步通过：

   • 行政投诉：向市场监管、税务等部门举报违法行为；
     
   • 民事诉讼：起诉对方承担违约或侵权责任，通过民事判决固定事实，为后续刑事追责提供依据。

行动建议：

1. 立即向公安机关索取书面《不予立案通知书》，明确不立案理由；
   
2. 整理法院移送材料、案件证据清单，同步向检察院和上一级公安机关提交申请；
   
3. 若案件符合自诉条件，准备自诉状及证据材料向法院立案庭提交；
   
4. 定期跟进检察院和公安机关的进展，必要时通过信访渠道反映情况。
   

如有进一步细节（如案件类型、移送材料内容等），可向我补充说明，我会结合具体情形提供更精准的方案。