结论：机构没签合同是否能退款，需根据具体情况判断，包括是否形成事实合同关系、款项性质、双方行为及法律规定等因素。以下从不同角度为您详细分析：
一、未形成事实合同关系的情况
若双方未就合同主要条款达成一致，也未开始履行合同主要义务（如未提供服务、未交付商品等），则通常未形成事实上的合同关系。此时：
- 预付款或意向金：若您支付的是预付款或意向金，且机构未提供任何服务或商品，您有权要求全额退款。
- 定金问题：若支付的是定金，需区分责任方：
- 若因机构原因导致合同未成立或履行，您有权要求双倍返还定金；
- 若因您自身原因导致合同未成立或履行，您无权要求返还定金。
二、已形成事实合同关系的情况
若双方虽未签订书面合同，但已通过实际行动履行了合同主要义务（如机构已提供服务、您已接受部分服务等），则可能构成事实合同。此时：
- 机构无违约行为：若机构已按约定提供服务或商品，且无违约行为，您以未签合同为由要求退款，可能难以得到支持。
- 机构存在违约行为：若机构提供的服务或商品存在质量问题、未按约定履行义务等，您有权依据《消费者权益保护法》或《民法典》要求退款、赔偿损失或采取其他补救措施。
三、特殊情况处理
- 欺诈、胁迫等情形：若机构在交易过程中存在欺诈、胁迫等违法行为，导致您作出了错误的意思表示或权益受损，您有权请求撤销合同并要求返还款项。
- 不可抗力因素：若因不可抗力（如自然灾害、政府行为等）导致合同未能顺利成立或履行，预付的款项通常应予以退还。
四、退款操作建议
- 协商解决：首先尝试与机构友好协商，明确退款金额、方式及时间等细节。
- 保留证据：在协商过程中，保留好付款凭证、沟通记录、合同草案等相关证据，以便在必要时维护自身权益。
- 寻求调解或仲裁：若协商不成，可寻求第三方机构如人民调解委员会进行调解；若合同中约定了仲裁条款或双方同意通过仲裁解决纠纷，则可向约定的仲裁机构申请仲裁。
- 提起诉讼：若合同中未约定仲裁条款或双方不愿通过仲裁解决，则可依法向人民法院提起诉讼，由法院根据事实和法律作出判决。
示例说明：
- 若您向某培训机构支付了预付款，但尚未接受任何培训服务，且双方未签订书面合同，您有权要求全额退款。
- 若您已接受部分培训服务，但发现培训机构存在虚假宣传、教学质量不达标等问题，您有权要求退款并赔偿损失。
法律背景：
- 根据《民法典》规定，即使没有明确的书面合同，只要双方的行为能够推断出订立合同的意愿，法院仍可认定合同以“其他形式”存在。
- 若一方无正当理由占有对方交付的款项，构成不当得利，受损方有权要求其返还取得的利益。
后续行动建议：
- 在处理退款问题时，保持冷静和理性，避免与机构发生不必要的冲突。
- 若对退款金额或方式有异议，可咨询我以获取更具体的法律意见和帮助。
希望以上分析能对您有所帮助。如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。