结论：认定书下来后，即使没有开垫付通知书，保险公司不一定会直接给医院打钱，是否支付取决于事故责任认定、保险合同条款以及是否满足先行赔付条件等多种因素。
事故责任认定是关键：
- 交通事故认定书是确定事故责任的重要依据，但它本身并不直接触发保险公司的赔付流程。保险公司会根据认定书上的责任划分，结合保险合同条款，来决定是否承担赔付责任以及赔付的比例。
- 如果认定书中明确了你方或对方的事故责任，且该责任属于保险公司的赔付范围，那么保险公司才有可能会进行赔付。但赔付的对象和方式，还需进一步看保险合同的具体约定。
保险合同条款的约束：
- 保险合同是保险公司与被保险人之间约定权利义务的法律文件。合同中会明确赔付的条件、流程、对象以及限额等。
- 如果没有开垫付通知书，但保险合同中有规定在特定情况下（如紧急救治、责任明确等）保险公司可以先行赔付给医院，那么保险公司可能会根据合同条款进行赔付。
- 反之，如果合同中没有这样的规定，或者规定需要特定的手续（如垫付通知书）才能赔付给医院，那么保险公司可能会拒绝直接赔付给医院。
先行赔付的条件与流程：
- 先行赔付通常适用于紧急救治、责任明确且被保险人无力支付医疗费用等情况。即使满足这些条件，也需要按照保险公司的流程来申请先行赔付。
- 一般来说，申请先行赔付需要提供事故认定书、医疗费用清单、被保险人身份证明等相关材料。垫付通知书可能是这些材料中的一部分，但并非所有情况下都必需。
- 如果保险公司要求提供垫付通知书才能进行先行赔付，那么你需要与交警部门或医院沟通，尽快开具该通知书。
实际操作中的建议：
- 在事故发生后，及时与保险公司联系，了解赔付的具体流程和所需材料。
- 如果保险公司要求提供垫付通知书，积极与交警部门或医院沟通，尽快开具并提交给保险公司。
- 保留好所有与事故和赔付相关的材料，以备不时之需。
总结来说，认定书下来后没有开垫付通知书，并不意味着保险公司一定会或一定不会给医院打钱。是否赔付取决于事故责任认定、保险合同条款以及是否满足先行赔付条件等多种因素。因此，在处理此类问题时，建议仔细阅读保险合同条款，及时与保险公司沟通，并按照其要求提供相关材料。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。