结论：员工合同到期后生病，一般情况下公司无需直接进行赔偿，但需根据具体情况判断是否需承担其他责任或给予相应待遇。以下从不同角度进行分析：

1. 合同到期后的劳动关系状态

   • 合同到期后，如果双方未续签劳动合同，则劳动关系自然终止。在此情况下，员工生病并不直接构成公司赔偿的理由，因为此时双方已不存在劳动关系。
   • 如果合同到期后，公司继续用工但未续签劳动合同，则可能形成事实劳动关系。然而，即便如此，员工生病本身也不直接导致公司需进行赔偿，除非能证明生病与工作有关且符合工伤认定条件。

2. 生病与工伤的关系

   • 如果员工生病是由于工作原因导致的，且符合《工伤保险条例》中关于工伤的认定条件（如在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害；或者患职业病等），则员工有权享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、伤残补助等。但这并非公司直接赔偿，而是通过工伤保险基金支付。
   • 如果员工生病并非工作原因导致，或者不符合工伤认定条件，则公司无需承担工伤保险责任，也无需直接进行赔偿。

3. 公司可能需承担的其他责任或给予的待遇

   • 医疗期：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。在医疗期内，公司不得解除劳动合同，并应按照规定支付病假工资或疾病救济费。
   • 经济补偿：如果合同到期后，公司选择不续签劳动合同，且员工不存在过错，则公司需按照《劳动合同法》的规定向员工支付经济补偿。但这一补偿与员工生病无直接关系，而是基于劳动合同终止的事实。

4. 特殊情况下的赔偿

   • 如果公司存在违法行为（如未依法为员工缴纳社会保险费），导致员工在生病时无法享受应有的社会保险待遇，则员工有权要求公司承担相应的赔偿责任。但这种情况下的赔偿是基于公司的违法行为，而非员工生病本身。

建议：

• 对于员工而言，如果合同到期后生病，首先应了解自己的劳动关系状态以及是否符合工伤认定条件。如果不符合工伤认定条件，可以关注医疗期内的权益保障以及合同终止时的经济补偿问题。
• 对于公司而言，应依法与员工签订劳动合同、缴纳社会保险费，并在合同到期时妥善处理劳动关系终止事宜。如果员工生病且符合工伤认定条件，应及时协助员工申请工伤认定并享受相应的工伤保险待遇。

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