关于私立中学教师不签合同能否入职的问题，这涉及到劳动关系的建立以及教师资格制度的相关规定。

首先，从劳动关系的角度来看，即使不签订书面劳动合同，劳动者与用人单位之间仍有可能形成事实劳动关系。这通常发生在劳动者实际为用人单位提供了劳动，并接受了用人单位的管理，同时用人单位也支付了劳动报酬的情况下。然而，不签订书面劳动合同并不意味着劳动关系不受法律保护，只是在实际操作中可能会带来一些不必要的风险和纠纷，比如劳动权益的保障、工资福利的确定等。

其次，针对教师这一特定职业，我国实行教师资格制度。根据《中华人民共和国教师法》和《教师资格条例》的相关规定，中国公民在各级各类学校和其他教育机构中专门从事教育教学工作，应当依法取得教师资格。这是为了保证教学质量，建设具有良好思想品德修养和业务素质的教师队伍而设定的法律要求。因此，如果教师没有取得相应的教师资格，虽然不影响事实劳动关系的建立，但可能会面临被调岗或解聘的风险，因为用人单位有义务确保其教师具备合法的从业资格。

具体到您的提问，如果一位教师没有签订书面劳动合同就入职私立中学，并且没有取得教师资格，那么：

1. 他/她与学校之间仍然有可能形成事实劳动关系，但这并不意味着这种劳动关系是稳定和受法律全面保护的。
2. 学校在发现教师没有教师资格后，有权根据内部管理规定和劳动法律法规进行调整，比如调岗或解聘，以确保教学工作的合法性和质量。
3. 为了避免不必要的风险和纠纷，建议教师在入职前与学校签订书面劳动合同，并尽快取得相应的教师资格。

综上所述，虽然不签订书面劳动合同并不妨碍事实劳动关系的建立，但考虑到教师职业的特殊性和法律要求，以及为了保障自身的劳动权益，建议教师在入职私立中学前签订书面劳动合同并取得教师资格。