私立学校没有跟教师签合同，教师不可以自动离职。下面我将从法律角度详细解释这个问题，并给出相应的建议。

法律解释

1. 劳动关系的认定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第七条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使私立学校没有与教师签订书面劳动合同，但如果教师实际上已经在学校工作，并提供了劳动，那么双方之间就已经建立了劳动关系。

2. 离职的规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。但这是在双方已经建立劳动关系，并且劳动者希望按照法律规定的方式解除劳动合同的情况下的规定。
   • 对于未签订劳动合同的劳动者，虽然双方存在事实劳动关系，但劳动者并不能因此就“自动离职”。因为“自动离职”这一概念在法律上并没有明确的定义，且通常不被视为合法的解除劳动合同的方式。

3. 法律责任：

   • 如果教师未经学校同意就擅自离职，可能会构成违法解除劳动合同，从而需要承担相应的法律责任，如赔偿学校因此遭受的损失等。

建议

1. 与学校协商：

   • 教师首先应该与学校进行协商，明确双方之间的劳动关系，并尝试就离职事宜达成一致意见。

2. 补签劳动合同：

   • 如果双方确实存在劳动关系，但尚未签订书面劳动合同，建议尽快补签劳动合同，以明确双方的权利和义务。

3. 依法解除劳动合同：

   • 如果教师希望解除劳动合同，应该按照《中华人民共和国劳动合同法》的规定，提前三十日以书面形式通知学校，并做好工作交接等事宜。

综上所述，私立学校没有跟教师签合同，教师并不能因此就自动离职。教师应该与学校进行协商，并依法处理离职事宜。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。