结论：个体经营户美容院未签订合同且未开发票的行为，可能涉及违法，但需分情况讨论。以下从合同法和税法两个角度展开分析：

1. 未签订书面合同是否违法
   根据《民法典》第四百六十九条，合同形式包括书面、口头或其他形式，法律未强制要求所有合同必须书面签订。因此，未签订书面合同本身不违法，但可能增加维权难度。例如，若发生服务纠纷（如效果不符、强制消费等），您需通过聊天记录、付款凭证、证人证言等证据证明双方存在服务关系及具体约定。若证据不足，可能面临举证困难。

2. 未开发票是否违法
   根据《发票管理办法》第十九条，商家在收取款项时应当向消费者开具发票，未开发票属于违法行为。您有权要求美容院补开发票，若对方拒绝，可向当地税务机关举报（如拨打12366纳税服务热线）。税务机关查实后，可能对商家处以罚款，并责令其补开发票。

建议行动步骤：

1. 固定证据：保存付款记录（如转账截图、收据）、沟通记录（如微信聊天记录）、服务过程照片/视频等，以证明消费事实。
   
2. 协商补开发票：向美容院明确要求补开发票，并留存沟通记录（如短信、录音）。
   
3. 投诉举报：若协商无果，可向税务机关举报未开发票行为，同时向消费者协会（12315）投诉服务质量问题。
   
4. 法律维权：若因服务问题产生损失（如皮肤损伤、财产损失），可依据《消费者权益保护法》第五十五条主张“退一赔三”（若构成欺诈）或赔偿实际损失。

风险提示：

• 若美容院存在偷税漏税行为，税务机关可能追缴税款并处罚，但您的消费权益不受影响，仍可主张退款或赔偿。
  
• 若商家已注销或失联，维权难度将显著增加，需尽快通过法律途径（如起诉）冻结财产或申请强制执行。

如有进一步疑问或需协助处理具体纠纷，可直接向我咨询。