结论：工厂以少数民族身份为由拒绝录用，属于违法行为。少数民族劳动者享有平等的就业权利，工厂的行为涉嫌就业歧视，您可以通过法律途径维护自身权益。以下从法律背景、维权建议、可能后果三个角度为您详细分析：
一、法律背景：平等就业权受法律保护
根据《中华人民共和国劳动法》第十二条及《中华人民共和国就业促进法》第三条、第二十七条明确规定：
- 禁止就业歧视：劳动者享有平等就业和选择职业的权利，用人单位不得因民族、种族、性别、宗教信仰等不同而歧视劳动者。
- 少数民族特殊保护：国家对少数民族劳动者给予特殊就业保障，用人单位招用人员时，除国家规定的不适合妇女的工种或岗位外，不得以民族为由拒绝录用。
举例：若工厂在招聘广告中明确标注“不招少数民族”，或面试时以“民族习惯不同”为由拒绝录用，均构成违法。
二、维权建议：分步骤主张权利
收集证据
- 保留招聘广告、面试记录（录音/聊天记录）、录用通知等材料，证明工厂存在歧视行为。
- 若有其他少数民族劳动者遭遇类似情况，可联合取证增强说服力。
协商或投诉
- 与工厂协商：明确指出其行为违法，要求书面道歉并给予录用机会。
- 向劳动监察部门投诉：携带证据向当地劳动保障监察大队举报，要求查处违法行为。
申请劳动仲裁或起诉
- 若协商/投诉无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张工厂承担赔偿责任（如交通费、误工费等实际损失）。
- 对仲裁结果不服的，可向法院提起诉讼，要求工厂公开道歉并赔偿精神损失。
提示：维权过程中注意保留所有书面/电子证据，避免与工厂发生直接冲突，必要时可寻求律师协助。
三、可能后果：工厂需承担法律责任
- 行政处罚：劳动监察部门可责令工厂改正，并处以罚款（具体金额根据地方规定）。
- 民事赔偿：若因歧视导致您遭受经济损失（如错过其他工作机会），工厂需赔偿实际损失；若造成精神损害，可主张精神损害抚慰金。
- 社会信用影响：工厂的违法行为可能被纳入企业信用记录，影响其后续招聘和经营。
补充说明：特殊情况处理
若工厂以“岗位特殊需求”（如需长期驻外且当地民族政策限制）为由拒绝录用，需满足以下条件才可能免责：
- 岗位需求与民族身份存在直接关联（如需精通特定民族语言）；
- 工厂已提供充分证据证明该需求合理且必要；
- 无其他可替代方案（如可通过培训解决语言问题）。
建议：若工厂提出此类理由，可要求其出具书面说明并核实真实性，必要时通过法律程序审查其合理性。
最后提醒：平等就业是法律赋予劳动者的基本权利，任何形式的就业歧视均不被允许。若您遇到类似情况，可直接向我咨询具体维权步骤，我将为您提供专业法律支持。