被事业单位开除的人员，在一定条件下是可以向单位索赔的。这主要取决于开除的原因、程序是否合法以及是否存在违法行为等因素。以下从几个不同角度进行分析：
一、开除原因与程序合法性
合法开除：
- 如果事业单位开除员工是基于合法的理由，如员工严重违反单位规章制度、严重失职或营私舞弊给单位造成重大损害等，并且开除程序符合法律法规和单位规章制度的规定，那么员工通常无法向单位索赔。
- 在这种情况下，开除是合法的，单位无需承担赔偿责任。
违法开除：
- 如果事业单位开除员工没有合法理由，或者开除程序违反了法律法规或单位规章制度的规定，那么员工有权向单位索赔。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
二、索赔的具体情形
未提前通知或支付经济补偿：
- 如果事业单位在开除员工时未提前三十日以书面形式通知员工本人，或者未按照法律规定支付经济补偿，员工可以要求单位支付相应的赔偿。
存在歧视或报复性开除：
- 如果员工认为开除是基于歧视（如性别、年龄、种族等）或报复性原因，且能够提供证据证明，那么员工可以向单位索赔，并可能寻求法律救济，如提起劳动仲裁或诉讼。
未履行法定程序：
- 事业单位在开除员工时，必须遵循法定的程序，如听取员工陈述和申辩、进行调查核实等。如果单位未履行这些程序，员工可以主张开除行为违法，并要求单位承担赔偿责任。
三、索赔的途径与建议
协商与调解：
- 在发生争议后，员工可以首先尝试与单位进行协商，寻求和解。如果协商无果，可以寻求工会或第三方调解机构的帮助，进行调解。
劳动仲裁：
- 如果协商和调解均无法解决问题，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。劳动仲裁是解决劳动争议的一种法定方式，其裁决具有法律效力。
诉讼：
- 如果员工对劳动仲裁结果不满意，或者单位不履行劳动仲裁裁决，员工可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
建议：在面临被事业单位开除的情况时，员工应首先了解自己的权益和开除的合法性。如果认为开除行为违法或存在不公，应及时收集证据并咨询专业律师（比如我，包燕律师，专注于劳动纠纷领域），以便更好地维护自己的合法权益。