事业编人员被单位开除时，可通过以下步骤依法维权，核心结论如下：

1. 核实开除依据是否合法
   根据《事业单位人事管理条例》第15-19条，事业单位解除聘用合同需符合法定情形（如连续旷工超15日、年度考核不合格且不同意调岗、被追究刑事责任等）。若单位无法提供充分证据证明存在上述情形，或未履行“提前30日书面通知”或“额外支付1个月工资”的法定程序，则开除行为可能违法。
   例如：单位以“考核不合格”为由开除，但未提供考核标准、考核过程记录或员工签字确认的考核结果，则程序违法。

2. 优先通过内部申诉渠道解决
   根据《事业单位工作人员申诉规定》，被开除人员可在收到处理决定后30日内向原处理单位申请复核，或直接向同级事业单位人事综合管理部门（如人社局）提出申诉。申诉期间不停止处理决定的执行，但若申诉成功，单位需撤销原决定并恢复劳动关系或赔偿损失。
   关键点：申诉需提交书面申请，明确陈述事实、理由及诉求，并附相关证据（如劳动合同、考核文件、开除通知等）。

3. 申请劳动仲裁或提起行政诉讼
   若内部申诉无果，可分情况处理：

   • 劳动仲裁：若争议属于《劳动争议调解仲裁法》范围（如工资、经济补偿、违法解除赔偿等），可在1年内向单位所在地劳动仲裁委申请仲裁。事业编人员虽适用《事业单位人事管理条例》，但涉及经济权益的争议（如未支付赔偿金）仍可参照劳动法处理。
     
   • 行政诉讼：若认为单位开除行为侵犯合法权益（如程序违法、滥用职权），可向法院提起行政诉讼，要求撤销开除决定或确认违法。
     注意：行政诉讼需以单位为被告，且需在知道开除决定后6个月内起诉。

4. 主张违法解除的赔偿
   若开除被认定违法，根据《劳动合同法》第87条，单位需按经济补偿标准的2倍支付赔偿金。经济补偿按工作年限计算，每满1年支付1个月工资（6个月以上按1年计，不满6个月支付半个月工资）。
   示例：工作5年3个月的员工被违法开除，可主张5.5个月工资的经济补偿×2=11个月工资的赔偿金。

行动建议：

• 立即收集证据（如劳动合同、开除通知、考核文件、沟通记录等）；
  
• 优先通过单位内部申诉或向人社局提出复核；
  
• 若未解决，尽快委托律师协助申请劳动仲裁或提起行政诉讼。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程或证据准备要点。