核心结论：在私企工作期间无名指断了一节，属于工伤范畴，可按以下步骤处理：先申请工伤认定，再进行劳动能力鉴定，最后依据鉴定结果主张相应工伤待遇赔偿；若用人单位未依法缴纳工伤保险，相关赔偿由用人单位承担。以下是详细说明：

第一步：申请工伤认定

1. 认定依据：根据《工伤保险条例》第十四条规定，在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。在私企工作期间无名指断了一节，符合该条款规定情形，属于工伤。
2. 申请主体：用人单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。若用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
3. 申请材料：一般需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等。

第二步：进行劳动能力鉴定

1. 鉴定时机：工伤职工经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，应当进行劳动能力鉴定。
2. 鉴定申请：向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，并提供工伤认定决定和职工工伤医疗的有关资料。
3. 鉴定内容：劳动能力鉴定是指劳动功能障碍程度和生活自理障碍程度的等级鉴定。劳动功能障碍分为十个伤残等级，最重的为一级，最轻的为十级。无名指断了一节，一般可能被鉴定为十级伤残，但具体等级需以鉴定结果为准。

第三步：主张工伤待遇赔偿

1. 赔偿项目：根据伤残等级不同，可享受不同的工伤待遇，主要包括一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等。十级伤残的一次性伤残补助金为7个月的本人工资；一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金的具体标准由省、自治区、直辖市人民政府规定。
2. 赔偿主体：若用人单位依法缴纳了工伤保险，上述工伤待遇中，一次性伤残补助金和一次性工伤医疗补助金由工伤保险基金支付，一次性伤残就业补助金由用人单位支付；若用人单位未依法缴纳工伤保险，则所有工伤待遇均由用人单位承担。

其他注意事项

1. 保留证据：在整个处理过程中，要注意保留好与工伤相关的各种证据，如医疗费用发票、病历、诊断证明、工伤认定决定书、劳动能力鉴定结论书等，以便在主张赔偿时使用。
2. 协商与诉讼：如果与用人单位就工伤待遇赔偿问题无法协商一致，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁裁决不服的，可以向人民法院提起诉讼。