结论：即使您和员工没有签订劳动合同，员工仍然有可能通过法律途径维护自己的权益，包括但不限于提起劳动仲裁要求您支付未签劳动合同的双倍工资差额（针对已工作超过一个月的部分，但此案例中员工仅工作20多天，不过仍需注意其他潜在风险）以及可能的工资、加班费等。

详细分析：

1. 未签劳动合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然此案例中员工仅工作了20多天，未达到一个月的标准，因此直接的双倍工资差额诉求可能不成立，但这一规定凸显了签订劳动合同的重要性。
   • 更重要的是，未签劳动合同可能使您在劳动争议中处于不利地位，因为员工可能更容易主张其他权益，如工资、加班费、社会保险等，且无需承担证明劳动合同存在的举证责任。

2. 员工可能主张的权益：

   • 工资支付：员工有权要求您支付其已工作期间的工资，这是最基本的劳动权益。
   • 加班费：如果员工在工作期间存在加班情况，且您未支付相应的加班费，员工也有权要求您支付。
   • 社会保险：根据法律规定，用人单位应为劳动者缴纳社会保险。如果未缴纳，员工可能要求您补缴或承担相应责任。
   • 其他福利：如员工手册、公司规章制度中规定的福利，如果员工符合享受条件而您未提供，也可能成为争议点。

3. 应对建议：

   • 尽快补签劳动合同：虽然员工已经工作了20多天，但尽快补签劳动合同仍然是一个明智的选择，可以明确双方的权利义务，减少未来可能出现的争议。
   • 整理相关证据：包括员工的工作记录、工资支付记录、考勤记录等，以备不时之需。
   • 积极沟通协商：与员工进行坦诚的沟通，了解其诉求，并尝试通过协商解决问题，避免法律纠纷的发生。
   • 寻求法律帮助：如果您对如何处理此事感到困惑或担心法律风险，可以直接向我咨询，我可以根据您的具体情况提供专业的法律建议。

后续行动建议：

• 立即审查并改进您的用工管理流程，确保所有员工都签订书面劳动合同，并遵守相关法律法规。
• 如果员工已经提起劳动仲裁或准备提起，及时准备相关证据和材料，以应对可能的法律程序。
• 考虑与员工达成和解协议，以和平的方式解决争议，减少双方的时间和精力消耗。

总之，即使员工仅工作了20多天且未签订劳动合同，您仍然需要重视此事，并采取积极措施来应对可能的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。