当公司决定关厂并遣散老员工时，赔偿问题的处理需严格依据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规进行。以下是对这一问题的详细解答：
一、赔偿的法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条，当用人单位因特定原因（如企业破产重整、生产经营发生严重困难、转产或技术革新等）需要提前解散或终止劳动合同，并与劳动者协商一致解除劳动合同时，应当向劳动者支付经济补偿。
二、赔偿标准
基本计算方式：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
月工资定义：
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 若劳动者工作不满十二个月，则按实际工作月数计算平均工资。
最高限额：
- 如果劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付。
- 向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
三、特殊情形下的赔偿
违法解除合同：
- 若用人单位违反法律规定解除劳动合同，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
未提前通知：
- 若用人单位未提前三十日以书面形式通知劳动者本人就解除劳动合同，应额外支付劳动者一个月工资作为代通知金。但需注意，代通知金与经济补偿金不能同时主张，且代通知金的计算基数为劳动者上一个月的工资标准。
四、无需支付经济补偿的情形
在以下情况下，公司遣散职工无需支付经济补偿：
- 劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条规定的情形。
五、赔偿程序
协商：
- 用人单位与劳动者可以就经济补偿问题进行协商，达成一致意见后签订协议。
支付：
- 用人单位应在与劳动者解除劳动合同的同时，一次性支付全部经济补偿金。若双方另有约定，也可以分期支付。
争议处理：
- 若双方对经济补偿问题存在争议，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
六、实际应用建议
- 保留证据：劳动者应保留好与用人单位的劳动合同、工资单、工作证明等相关证据，以备不时之需。
- 及时咨询：在处理赔偿问题时，劳动者可以及时咨询专业律师或法律机构，以确保自身权益得到妥善维护。
- 合法维权：若用人单位存在违法行为，劳动者应依法维权，通过合法途径解决争议。
综上所述，公司关厂遣散老员工时，赔偿问题的处理需严格依据相关法律法规进行。双方应首先尝试协商解决，如遇纠纷则应及时咨询专业律师或法律机构，以确保自身权益得到妥善维护。