核心结论：非婚生子父亲判刑后，变更抚养权可通过协商或诉讼两种途径解决，具体需结合实际情况判断。以下是详细分析：
一、协商变更抚养权
法律依据
根据《民法典》第1084条，父母对子女抚养问题可协商解决。若父亲因判刑丧失抚养能力（如长期监禁、无法履行监护职责），双方可签订书面协议变更抚养权至母亲或其他有抚养能力的亲属。
操作要点
- 协议内容：需明确抚养权归属、抚养费支付、探视权等条款，建议公证或律师见证以增强效力。
- 父亲同意：若父亲配合，可直接办理变更；若拒绝，需通过诉讼解决。
- 实际履行：协议签订后，母亲需实际承担抚养责任，避免后续纠纷。
二、诉讼变更抚养权
法定情形
若协商不成，母亲可向法院起诉变更抚养权。根据《民法典》及相关司法解释，法院会从以下角度综合判断：
- 父亲抚养能力丧失：判刑导致无法履行监护职责（如长期监禁、经济来源中断）。
- 子女利益最大化：母亲的经济条件、生活环境、教育能力等更有利于子女成长。
- 子女意愿：若子女年满8周岁，法院会尊重其真实意愿。
证据准备
- 父亲判刑证明：法院判决书、监狱服刑证明等。
- 母亲抚养能力证明：收入证明、房产证明、子女生活照片等。
- 其他证据：如父亲未履行抚养义务的记录、子女意愿声明等。
诉讼流程
- 提交起诉状至父亲户籍地或经常居住地法院。
- 法院立案后，组织调解或开庭审理。
- 法院根据证据和法律规定判决是否变更抚养权。
三、特殊情况处理
父亲出狱后要求变更
若父亲出狱后具备抚养能力，可再次协商或诉讼变更抚养权。法院会重新评估双方条件，以子女利益为优先。
其他亲属抚养
若母亲也无法抚养，可由其他有抚养能力的亲属（如祖父母、外祖父母）抚养，但需通过协商或诉讼明确抚养权归属。
四、建议与注意事项
- 优先协商：诉讼周期长、成本高，建议先尝试协商解决。
- 保留证据：无论协商还是诉讼，均需保留相关证据以支持主张。
- 关注子女心理：变更抚养权可能对子女心理造成影响，建议做好沟通与安抚工作。
如有进一步疑问或需具体操作指导，可直接向我咨询，我会结合您的实际情况提供详细方案。