若母亲想要变更孩子的抚养权，且孩子父亲正在服刑，母亲可以通过提起抚养权变更诉讼来实现，具体诉讼流程如下：
准备起诉材料：
- 起诉状：需明确写明原被告的身份信息、诉讼请求（即要求变更抚养权）、事实与理由（包括父亲服刑的情况、母亲抚养孩子的优势等）以及证据和证据来源。
- 证据材料：
- 父亲服刑的证明，如监狱出具的服刑证明或法院的刑事判决书。
- 母亲的经济状况证明，如工资单、银行流水、房产证明等，以证明母亲有足够的经济能力抚养孩子。
- 母亲的生活环境证明，如居住证明、社区环境介绍等，以证明母亲能提供良好的生活环境。
- 孩子与母亲共同生活的照片、视频或学校、幼儿园的证明，以证明孩子与母亲关系密切，且母亲已实际承担抚养责任。
- 若孩子已满八周岁，还需准备孩子的意愿证明，如孩子书写的愿意与母亲共同生活的声明或法院对孩子进行的询问笔录。
提交起诉材料至法院：
- 母亲需将准备好的起诉状和证据材料提交至孩子父亲服刑地或母亲住所地的基层人民法院。
- 法院在收到起诉材料后，会进行审查，若符合立案条件，会予以立案，并通知母亲缴纳诉讼费。
参与庭审：
- 法院在立案后，会安排开庭时间，并通知母亲和父亲（或父亲的法定代理人，如父亲在服刑期间无法出庭）出庭。
- 在庭审过程中，母亲需就自己的诉讼请求进行陈述，并出示证据。父亲或其法定代理人也有权进行答辩和出示证据。
- 法院会根据双方提供的证据和陈述，进行调解或判决。若调解成功，双方需签订调解协议；若调解不成，法院会依法作出判决。
执行判决：
- 若法院判决变更抚养权给母亲，父亲需履行判决，将孩子交给母亲抚养。
- 若父亲不履行判决，母亲可以向法院申请强制执行，法院会采取相应的措施，如查封、扣押、冻结父亲的财产，或对其采取其他强制措施，以确保判决得到执行。
在诉讼过程中，母亲还需注意以下几点：
- 保持冷静和理性：诉讼过程可能会比较漫长和复杂，母亲需保持冷静和理性，不要因情绪激动而做出不利于自己的行为。
- 积极配合法院工作：母亲需积极配合法院的工作，如按时出庭、提供证据等，以确保诉讼顺利进行。
- 关注孩子的感受和需求：在诉讼过程中，母亲需关注孩子的感受和需求，尽量减少诉讼对孩子的影响，并确保孩子的权益得到保障。
若在诉讼过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，母亲可以直接向我咨询。我会根据具体情况，为母亲提供专业、全面的法律建议。