结论：在处理学校孩子打闹受伤的事件时，选择私了还是公了，需根据具体情况综合考虑，包括受伤程度、责任划分、双方协商意愿及未来潜在风险等因素。以下是对两种处理方式的详细分析：
私了处理
适用情况：
- 受伤程度较轻，未造成严重后果，如轻微擦伤、淤青等。
- 双方家长对责任划分无异议，且愿意友好协商解决。
- 考虑到诉讼成本和时间成本，双方更倾向于快速解决纠纷。
优点：
- 快速解决：私了可以迅速达成协议，避免长时间的法律纠纷。
- 节约成本：无需支付律师费、诉讼费等额外费用。
- 维护关系：有助于保持双方家庭之间的和谐关系，避免矛盾升级。
缺点：
- 风险自担：私了协议可能缺乏法律约束力，若一方反悔，另一方可能难以维权。
- 赔偿不足：可能因缺乏专业评估而导致赔偿金额不合理，无法充分弥补受害方的损失。
- 证据缺失：私了过程中可能忽略收集关键证据，影响未来可能的法律诉讼。
公了处理（即通过法律途径解决）
适用情况：
- 受伤程度较重，可能构成伤残或需要长期治疗。
- 双方对责任划分存在争议，无法达成一致意见。
- 受害方希望获得更全面、合理的赔偿，并确保法律权益得到保障。
优点：
- 法律保障：通过法律途径解决，可以确保协议具有法律约束力，双方必须履行。
- 专业评估：法院或相关机构可以对受伤程度、责任划分等进行专业评估，确保赔偿金额合理。
- 证据充分：在法律程序中，双方需要提供充分证据支持自己的主张，有助于查明事实真相。
缺点：
- 时间成本：法律程序可能较为漫长，需要投入较多时间和精力。
- 经济成本：需要支付律师费、诉讼费等额外费用。
- 关系紧张：可能加剧双方家庭之间的矛盾，影响未来关系。
建议
- 评估受伤程度：首先，应评估孩子的受伤程度，若伤势较轻且双方无争议，可考虑私了；若伤势较重或存在争议，建议通过法律途径解决。
- 咨询专业意见：在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师的意见，以便更准确地评估责任划分、赔偿金额等关键问题。
- 收集证据：无论选择私了还是公了，都应尽可能收集相关证据，如现场照片、医疗记录、证人证言等，以备不时之需。
- 保持冷静和理性：在处理纠纷时，双方家长应保持冷静和理性，避免情绪化行为导致矛盾升级。
最后，每个案件都有其独特性，因此在做出决定前，请务必根据具体情况进行综合考虑。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。