当用人单位与劳动者连续签订三次劳动合同时，这确实是一个涉及无固定期限劳动合同签订的重要法律节点。以下是我为您详细梳理的办理流程和注意事项：
一、法律依据与核心结论
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者不存在严重违反规章制度、被追究刑事责任等法定辞退情形，以及医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作、不胜任工作经培训或调岗后仍不胜任等非过错性辞退情形时，续订劳动合同时，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
核心结论：在连续签订三次劳动合同的情况下，若劳动者符合上述条件并提出或同意续订无固定期限劳动合同，用人单位应当与其订立无固定期限劳动合同。
二、办理流程
第三次合同期满前沟通：
- 在第三次签订的劳动合同即将到期时，用人单位应主动与劳动者就续签事宜进行沟通，了解劳动者的意愿和需求。
- 劳动者有权提出签订无固定期限劳动合同的要求，用人单位应认真考虑并给予回应。
评估劳动者情况：
- 用人单位需对劳动者在合同期间的表现进行全面评估，确认其是否存在法定辞退情形。
- 若劳动者表现良好，不存在法定辞退情形，则符合签订无固定期限劳动合同的条件。
签订无固定期限劳动合同：
- 经双方协商一致，应签订无固定期限劳动合同。此类合同没有确定的终止时间，除非存在法定解除情形，否则劳动关系将持续存在。
- 合同中应明确工作内容、工作地点、劳动报酬、社会保险等关键条款，确保双方权益得到保障。
书面合同签订与备案：
- 无论是签订固定期限还是无固定期限劳动合同，都应采用书面形式，并由双方签字或盖章确认。
- 根据当地规定，可能还需要将劳动合同进行备案或登记，以确保其法律效力。
三、注意事项
劳动者权利保障：
- 劳动者在连续签订两次固定期限劳动合同后，有权要求签订无固定期限劳动合同，以保障其就业稳定。
- 用人单位不得无故拒绝劳动者的合理要求，否则可能面临法律责任。
用人单位义务：
- 用人单位应按照法律规定与符合条件的劳动者签订无固定期限劳动合同，不得设置违法条款或变相拒绝签订。
- 用人单位应建立健全的劳动合同管理制度，确保劳动合同的签订、续订、变更和解除等程序合法合规。
特殊情况处理：
- 若劳动者在第三次合同期间存在严重违纪、不胜任工作等情形，用人单位可依法解除劳动合同，无需签订无固定期限劳动合同。
- 双方也可协商一致继续签订固定期限劳动合同，但需注意是否符合法律规定和双方意愿，避免引发法律纠纷。
法律责任与维权途径：
- 若用人单位违反法律规定，不与劳动者订立无固定期限劳动合同，自应当订立之日起向劳动者每月支付二倍的工资，最长不超过11个月。
- 劳动者在权益受到侵害时，可首先尝试与用人单位沟通和协商；协商不成时，可向当地劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁结果不服的，还可向人民法院提起诉讼。
综上所述，连续签订三次劳动合同是一个重要的法律节点，双方都应充分了解相关法律法规和政策规定，确保劳动合同的签订和履行合法合规。如有任何疑问或争议，建议及时咨询专业律师或相关机构进行解决。