结论前置：乡镇管教育期间一般无权直接开除老师工作，开除教师通常需依据相关法律法规，并经过法定程序，由具有相应权限的教育行政部门或学校作出决定。

详细分析：

1. 法律法规依据：

   • 根据《中华人民共和国教师法》第三十七条，教师有下列情形之一的，由所在学校、其他教育机构或者教育行政部门给予行政处分或者解聘：（一）故意不完成教育教学任务给教育教学工作造成损失的；（二）体罚学生，经教育不改的；（三）品行不良、侮辱学生，影响恶劣的。这表明，开除教师并非随意行为，而是需要满足特定条件，并由具有相应权限的机构作出决定。
   • 同时，《中华人民共和国劳动合同法》也规定了用人单位解除劳动合同的条件和程序，教师作为劳动者，其权益同样受到该法的保护。

2. 权限划分：

   • 乡镇管教育通常指的是乡镇政府的教育管理部门或教育办公室，它们主要负责教育政策的宣传、执行和监督，以及教育资源的调配等工作。然而，在教师管理方面，特别是涉及教师解聘、开除等重大人事决策时，乡镇政府的教育管理部门通常并不具备直接决定权。
   • 教师的解聘、开除等决定，一般需要由学校根据相关法律法规和学校规章制度提出，并报请上级教育行政部门批准或备案。在某些情况下，如教师严重违反师德师风或法律法规，教育行政部门也可能直接介入处理。

3. 程序要求：

   • 即使教师存在应当被解聘或开除的情形，也必须遵循严格的程序要求。这包括但不限于：调查取证、听取教师陈述和申辩、作出决定并通知教师、办理相关手续等。这些程序旨在保障教师的合法权益，防止滥用职权和不当处理。

建议与后果：

• 对于乡镇管教育部门：应严格遵守相关法律法规和程序要求，不得随意开除教师。如需对教师进行解聘或开除处理，应依法依规进行，并确保程序合法、证据充分。
• 对于教师：如认为自己的权益受到侵害，如被不当解聘或开除，可以依法向教育行政部门提出申诉或向劳动争议仲裁机构申请仲裁，甚至向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

特殊情况说明：

• 在某些特殊情况下，如教师涉嫌违法犯罪或严重违反师德师风等，教育行政部门或学校可能根据相关法律法规和规章制度，直接作出解聘或开除决定。但即便如此，也必须确保程序合法、证据充分，并保障教师的合法权益。

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