核心结论：给私人干活受伤治疗2个月后死亡，这种情况下可能涉及工伤赔偿或人身损害赔偿问题，具体处理方式需根据实际情况判断，以下分情况说明。

1. 若存在劳动关系或事实劳动关系
   即使未签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系（例如长期、稳定地受雇于私人雇主），根据《工伤保险条例》及相关规定，应认定为工伤。此时：

   • 工伤认定：家属需在死亡之日起1年内向当地社会保险行政部门申请工伤认定，需提供劳动关系证明（如工资记录、工作证、同事证言等）、医疗诊断证明等材料。
     
   • 赔偿项目：包括丧葬补助金（6个月统筹地区上年度职工月平均工资）、供养亲属抚恤金（按死者工资一定比例支付给无劳动能力的亲属）、一次性工亡补助金（上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍）。
     
   • 责任主体：若雇主未缴纳工伤保险，所有赔偿由雇主承担；若已缴纳，由工伤保险基金支付部分赔偿，雇主承担剩余部分（如供养亲属抚恤金中超出工伤保险支付范围的部分）。

2. 若不存在劳动关系，而是承揽关系或劳务关系
   若死者与雇主是“一次性完成工作、交付成果”的承揽关系（如装修、搬运等），或仅为临时提供劳务（如短期帮工），则不适用工伤赔偿，但可依据《民法典》第1192条主张人身损害赔偿：

   • 赔偿项目：包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住院伙食补助费、营养费、丧葬费、死亡赔偿金（按受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或农村居民人均纯收入标准，按20年计算，但60周岁以上每增加1岁减少1年，75周岁以上按5年计算）、被扶养人生活费（按扶养人丧失劳动能力程度，按受诉法院所在地上一年度城镇居民人均消费性支出或农村居民人均年生活消费支出标准计算）等。
     
   • 责任划分：若雇主对损害发生有过错（如未提供安全防护措施、指挥不当等），需承担相应赔偿责任；若死者自身存在过错（如违规操作），可减轻雇主责任；若双方均无过错，可能适用公平责任原则，由雇主适当补偿。
     
   • 举证要点：需证明雇主存在过错（如现场照片、证人证言、安全规范文件等），或证明损害与雇主行为存在因果关系。

3. 关键行动建议

   • 收集证据：立即保存所有与工作相关的证据（如聊天记录、转账记录、工作现场照片、医疗记录、死亡证明等），这些是后续维权的核心依据。
     
   • 协商或诉讼：优先与雇主协商赔偿；若协商不成，需在1年内（人身损害赔偿诉讼时效）向法院起诉，避免超过时效丧失权利。
     
   • 专业协助：此类案件涉及劳动关系认定、过错划分、赔偿标准计算等复杂问题，建议家属尽快委托律师介入，以提高维权效率。

总结：具体是按工伤赔偿还是人身损害赔偿处理，需根据死者与雇主的实际关系判断。家属需尽快行动，收集证据并明确法律关系，以最大限度维护权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。