结论前置：公司合法辞退员工是否需要支付补偿，取决于具体的辞退原因和情形。在员工存在过错或特定合同情形下，公司可能无需支付补偿；而在其他合法辞退情形下，公司通常需要支付经济补偿。
一、公司无需支付补偿的合法辞退情形
员工过错导致解除劳动合同
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若员工存在以下情形，公司可以合法辞退且无需支付经济补偿：
- 试用期不符合录用条件：例如，公司明确规定了试用期的考核标准，员工在试用期内未能达到这些标准，且公司能提供相应证据。
- 严重违反规章制度：员工的违规行为需达到“严重”程度，如连续旷工、泄露商业秘密等，且公司的规章制度需经民主程序制定并公示。
- 严重失职或营私舞弊：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害，如采购员收受回扣导致公司损失巨大。
- 双重劳动关系：员工同时与其他单位建立劳动关系，对完成本公司工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正。
- 欺诈手段订立合同：如员工使用虚假学历证书入职，或隐瞒传染病病史从事食品行业工作。
- 被依法追究刑事责任：员工因犯罪行为被依法追究刑事责任，如财务人员挪用公款被判刑。
特殊用工形式的终止
- 非全日制用工关系终止：根据《劳动合同法》第七十一条，非全日制用工双方可随时通知对方终止用工，且公司无需支付经济补偿。例如，超市临时促销员完成工作周期后离职。
- 固定期限劳动合同期满不续签：当合同明确约定终止日期且到期未续签时，劳动关系自然终止。但需注意，若符合签订无固定期限合同条件而企业拒绝续签，仍需支付补偿金。
二、公司需支付补偿的合法辞退情形
协商一致解除
- 双方协商一致解除劳动合同，公司需按工作年限支付经济补偿。补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
无过失性辞退
- 包括员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作；员工不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任；劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且协商未果。在这些情况下，公司需提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，并支付经济补偿。
经济性裁员
- 因生产经营严重困难、企业转产、技术革新等客观经济情况，需要裁减人员二十人以上或占企业职工总数百分之十以上的，公司在提前说明情况、听取意见并报告劳动行政部门后，可以裁减人员，并支付经济补偿。
三、违法辞退的情形及后果
- 若公司无合法理由辞退员工且未支付补偿金，则构成违法辞退。此时，员工有权要求公司继续履行合同或支付赔偿金。赔偿金计算标准为经济补偿标准的二倍，即按员工在本单位工作年限，每满一年支付二个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付一个月工资的赔偿金。
四、员工维权途径
- 面对公司未依法支付经济补偿金或赔偿金的情况，员工可通过以下途径维权：
- 与公司协商：首先尝试协商解决。
- 向劳动行政部门投诉：若协商无果，可向当地劳动行政部门投诉，要求责令公司限期支付。
- 申请劳动仲裁：员工可在一年内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 提起诉讼：对劳动仲裁裁决不服的，员工可在十五日内向法院提起诉讼。
总结与建议：公司合法辞退员工是否需要支付补偿，需根据具体辞退原因、情形及法律法规综合判断。作为员工，应了解自己的权益，并在必要时采取合适途径维护自身合法权益。如果您有具体的劳动纠纷问题，欢迎直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。