结论前置：单位违法开除已工作十三年的员工，员工维权确实存在时效期，这一时效期主要涉及劳动仲裁时效和诉讼时效两个方面。
一、劳动仲裁时效
基本时效规定：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。这意味着，从员工知道或应当知道其权利被侵害之日起，一年内需要向劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请。
特殊情形下的时效延长：
- 如果劳动关系存续期间因拖欠劳动报酬发生争议，劳动者申请仲裁不受上述一年仲裁时效期间的限制。但需要注意的是，这一特殊规定仅适用于拖欠劳动报酬的情形，并不适用于违法开除等所有劳动争议。
- 对于违法开除等劳动争议，如果员工在劳动关系终止后一年内提出仲裁申请，仍然受到一年仲裁时效的限制。不过，如果因不可抗力或其他正当理由导致员工无法在一年内提出申请，仲裁时效可以中止，从中止时效的原因消除之日起，仲裁时效期间继续计算。
针对本案例的具体分析：
- 在本案例中，员工已被单位违法开除，且已工作十三年。员工应在知道或应当知道被开除之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请，要求单位承担违法开除的法律责任，如支付赔偿金等。
二、诉讼时效
基本诉讼时效规定：
- 如果员工对劳动争议仲裁委员会的裁决不服，可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这是劳动争议诉讼的基本时效规定。
特殊情形下的诉讼时效：
- 在某些特殊情况下，如员工因不可抗力或其他正当理由无法在十五日内提起诉讼，诉讼时效可以中止或中断。但这种情况较为少见，且需要满足严格的法律条件。
针对本案例的具体分析：
- 如果员工对劳动争议仲裁委员会的裁决不服，并决定向人民法院提起诉讼，应在收到裁决书之日起十五日内完成。逾期提起诉讼的，人民法院可能不予受理。
三、综合建议
及时维权：
- 员工在得知被违法开除后，应尽快收集相关证据，如劳动合同、工资单、开除通知等，并在一年内提出劳动仲裁申请，以维护自己的合法权益。
咨询专业律师：
- 由于劳动争议案件涉及复杂的法律程序和证据规则，建议员工在维权过程中咨询专业律师的意见。作为专注于交通事故、劳动纠纷领域的律师，我可以为你提供详细的法律咨询和代理服务。
关注时效变化：
- 员工应密切关注劳动仲裁时效和诉讼时效的变化情况，确保在时效期内完成维权程序。如果因特殊原因无法按时提出申请或提起诉讼，应及时向相关部门说明情况并申请时效中止或中断。
最后，如果你在劳动仲裁或诉讼过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业、全面的法律服务。