结论：公司在劳动合同存续期间增加劳动合同以外的工作，在解除劳动合同时，劳动者是否可以申请增加赔偿，这取决于具体情况。一般来说，如果公司增加的工作内容违反了劳动合同的约定或相关法律法规，劳动者在解除劳动合同时有权要求相应的赔偿或补偿。

详细分析：

1. 劳动合同的约定：

   • 劳动合同是劳动者与用人单位之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。如果劳动合同中明确规定了工作内容、工作地点、工作时间等条款，而公司在合同存续期间未经劳动者同意擅自增加了额外的工作内容，这可能构成违约。
   • 在此情况下，劳动者有权依据劳动合同的约定，要求公司承担违约责任，包括但不限于支付违约金、赔偿损失等。如果因公司增加的工作内容导致劳动者被迫解除劳动合同，劳动者还可以要求公司支付经济补偿。

2. 相关法律法规：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者应当按照劳动合同的约定，全面履行各自的义务。如果用人单位违反劳动合同的约定，劳动者有权要求用人单位承担相应的法律责任。
   • 特别是当公司增加的工作内容涉及超时加班、违法用工等情形时，劳动者不仅可以要求公司支付加班费、违法用工赔偿等，还可以在解除劳动合同时要求公司支付经济补偿。经济补偿的计算通常依据劳动者在本单位工作的年限和月工资标准来确定。

3. 实际操作建议：

   • 如果劳动者遇到公司增加劳动合同以外工作的情况，首先应当与公司进行沟通协商，明确表达自己的意愿和诉求。
   • 如果协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
   • 在申请劳动仲裁或提起诉讼时，劳动者需要提供相关证据证明公司增加了劳动合同以外的工作，并且这些工作违反了劳动合同的约定或相关法律法规。

可能的情况与后果：

• 情况一：公司增加的工作内容轻微且未违反法律法规，劳动者同意继续履行合同。在此情况下，劳动者可能无法直接要求增加赔偿，但可以与公司协商调整工作内容或工作时间等。
• 情况二：公司增加的工作内容严重违反法律法规或劳动合同约定，导致劳动者被迫解除劳动合同。在此情况下，劳动者有权要求公司支付经济补偿，并可能要求公司承担其他法律责任，如支付加班费、违法用工赔偿等。

总结与建议：

公司在劳动合同存续期间增加劳动合同以外的工作，劳动者是否可以申请增加赔偿取决于具体情况。如果公司增加的工作内容违反了劳动合同的约定或相关法律法规，劳动者在解除劳动合同时有权要求相应的赔偿或补偿。因此，建议劳动者在遇到此类情况时，及时与公司沟通协商，并保留好相关证据以便在必要时维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。