结论：打人者造成他人轻伤二级后逃跑，派出所会进行追捕，因为其行为已涉嫌故意伤害罪，应承担刑事责任。

详细分析：

1. 法律定性：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条的规定，故意伤害他人身体致人轻伤的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。打人者造成他人轻伤二级后逃跑，其行为已经构成了故意伤害罪，应承担相应的刑事责任。

2. 派出所的追捕责任：

   • 派出所作为基层公安机关，负责维护辖区内的社会治安秩序，保护公民的人身安全。当发生打人事件，尤其是造成轻伤二级且打人者逃跑的情况时，派出所会立即展开调查，并采取必要的措施进行追捕。
   • 警方立案后，犯罪嫌疑人在逃不受追诉期限的限制，这意味着无论打人者逃跑多久，只要被发现，都将依法受到刑事处罚。

3. 受害者的应对措施：

   • 及时报警：受害者应在第一时间向案发地的公安机关报案，详细、准确地描述事件发生的时间、地点、打人者的体貌特征、衣着打扮及逃跑方向等信息。同时，尽可能提供现场的相关证据，如监控录像、证人证言等，以便警方迅速展开调查。
   • 进行伤情鉴定：在公安机关的安排下，受害者应前往指定的鉴定机构进行伤情鉴定。轻伤二级的鉴定结果是追究打人者刑事责任的重要依据，也是后续民事诉讼中赔偿请求的有力支持。
   • 积极配合警方侦查：受害者及相关证人应积极配合警方的调查工作，如实提供所知情况，不得隐瞒或提供虚假信息。如果后续想起其他与打人者有关的线索，如社交账号、可能藏身地点等，应及时告知警方。

4. 后续法律程序：

   • 刑事诉讼：若打人者归案，将面临刑事诉讼程序。在刑事诉讼过程中，受害者可以作为被害人参与诉讼，并有权要求打人者赔偿因受伤所遭受的经济损失。
   • 民事诉讼：受害者还可以在刑事立案后，适时向法院提起民事诉讼，要求打人者赔偿医疗费、误工费、护理费等经济损失。法院会根据实际情况进行审理和判决，待打人者归案后执行赔偿。

建议：

• 受害者应保持冷静，及时采取上述措施维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，受害者可以随时向我咨询相关法律问题，我会提供专业的法律意见和帮助。

法律依据：

• 《中华人民共和国刑法》第二百三十四条：故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。