结论：在私企没有提前通知且没有签订劳动合同的情况下直接裁员，劳动者有权要求用人单位支付违法解除劳动关系的赔偿金以及未签订书面劳动合同的双倍工资差额。
一、违法解除劳动关系的赔偿金
法律依据：
- 根据《劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”
- 第八十七条规定：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
赔偿金计算：
- 经济补偿标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 因此，违法解除劳动关系的赔偿金为经济补偿标准的二倍，即工作每满一年支付两个月工资，以此类推。
特殊情况：
- 如果用人单位未提前三十日以书面形式通知劳动者本人就解除劳动合同，根据《劳动合同法》第四十条，用人单位还需额外支付劳动者一个月工资作为代通知金。但在此案例中，由于用人单位是违法解除，所以主要关注的是赔偿金而非代通知金。
二、未签订书面劳动合同的双倍工资差额
法律依据：
- 根据《劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
双倍工资差额计算：
- 从用工之日起的第二个月开始计算，至满一年前一日止，用人单位需支付劳动者双倍工资。
- 例如，如果劳动者在用人单位工作了6个月且未签订劳动合同，那么用人单位需支付5个月的双倍工资差额（第一个月为建立劳动关系后的宽限期，不计入双倍工资计算）。
三、综合建议
收集证据：
- 劳动者应尽快收集与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。
协商与调解：
- 在掌握一定证据后，劳动者可以尝试与用人单位进行协商，要求支付赔偿金和双倍工资差额。如果协商无果，可以向当地的劳动争议调解组织申请调解。
劳动仲裁与诉讼：
- 如果调解不成，劳动者可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
注意事项：
- 劳动者在维权过程中应注意保留好所有相关证据，并遵循法律程序进行维权。同时，也要注意时效问题，如劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。
最后，我理解您现在可能面临一些困惑和不安，但请放心，法律会为您的权益提供有力保障。如果您有任何进一步的疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。