结论：在仲裁结束后，若公司没有提起上诉而员工上诉了，公司一般不能在员工上诉的二审程序中提出反诉申请，但公司可以另行起诉主张自己的权利。

详细分析：

1. 仲裁与诉讼的程序关系：

   • 仲裁是一种替代性纠纷解决方式，其裁决通常具有终局性（除非存在法定撤销或不予执行的情形）。在劳动争议中，仲裁是前置程序，即当事人必须先经过仲裁，对仲裁裁决不服的，才可以向人民法院提起诉讼。
   • 一旦仲裁裁决作出，且双方在法定期限内均未提起诉讼（或一方提起诉讼后另一方未在规定时间内应诉），则仲裁裁决生效，具有法律效力。

2. 公司未上诉而员工上诉的情况：

   • 若公司未在法定期限内对仲裁裁决提起诉讼，而员工提起了诉讼，则案件进入二审程序（假设一审已作出判决且员工不服提起上诉）。
   • 在二审程序中，主要审查的是一审判决和仲裁裁决（如果一审判决部分或全部维持了仲裁裁决）的合法性、合理性，以及员工提出的上诉请求是否成立。

3. 公司能否提出反诉申请：

   • 反诉的定义：反诉是指在已经开始的诉讼程序中，被告向本诉的原告提出的一种独立的反请求。它旨在通过抵销、吞并或排斥原告的诉讼请求来维护自己的合法权益。
   • 二审中的反诉限制：在二审程序中，由于案件已经进入实质审查阶段，且主要围绕一审判决和仲裁裁决进行，因此通常不允许被告（在此为公司）提出反诉。反诉应当在一审程序中提出，以便法院能够一并审理并作出裁决。
   • 公司的其他救济途径：虽然公司不能在二审中提出反诉，但如果公司认为仲裁裁决或一审判决存在错误，且该错误影响了其合法权益，公司可以通过申请再审或另行起诉的方式来主张自己的权利。另行起诉时，公司需要准备充分的证据来支持自己的主张，并遵循民事诉讼的相关程序规定。

4. 实际操作建议：

   • 对于公司而言，如果认为仲裁裁决或一审判决存在错误，应及时咨询专业律师，评估申请再审或另行起诉的可行性和风险。
   • 在准备另行起诉时，公司应仔细梳理案件事实，收集相关证据，并明确自己的诉讼请求和法律依据。

总结与提醒：在劳动争议中，仲裁和诉讼是两个相互衔接但又相对独立的程序。公司应充分了解并遵守相关程序规定，及时行使自己的权利。如果遇到复杂或疑难的法律问题，建议及时咨询专业律师以获取更具体、更专业的法律建议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。