结论前置：入职公立医院半个月还未签订劳动合同，可能涉及多种情况，包括但不限于医院流程问题、故意拖延或违反法律规定等。以下是对此问题的详细分析：

1. 医院流程问题：

   • 解释：公立医院作为大型机构，其人事流程可能相对复杂，包括入职审批、合同准备、盖章等环节。这些流程可能需要一定时间来完成，尤其是在医院工作繁忙或人事部门人员不足的情况下。
   • 建议：您可以主动与医院的人事部门或直接上级沟通，了解合同签订的具体进度和预计完成时间。同时，保留好入职通知、工作证等相关证据，以备不时之需。

2. 故意拖延签订合同：

   • 解释：虽然不常见，但也不能排除医院因某种原因故意拖延签订合同的可能性。这可能涉及医院内部管理问题或对员工权益的不重视。
   • 法律后果：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果医院故意拖延签订合同，您有权要求医院支付相应的双倍工资。
   • 建议：如果怀疑医院故意拖延，您可以再次与医院沟通，明确表达您的诉求和法律依据。如果医院仍不配合，您可以考虑向当地劳动监察部门投诉或寻求法律援助。

3. 违反法律规定：

   • 解释：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。因此，医院在您入职半个月后仍未签订合同，可能违反了法律规定。
   • 建议：您可以向医院明确指出其违反了法律规定，并要求医院立即与您签订书面劳动合同。如果医院拒绝或忽视您的要求，您可以考虑采取法律手段维护自己的权益，如向劳动仲裁机构申请仲裁或向法院提起诉讼。

额外建议：

• 在与医院沟通或采取法律手段前，建议您先收集并整理好相关证据，如入职通知、工作证、工资条等，以证明您与医院之间存在劳动关系。
• 如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益得不到充分保障，可以考虑咨询专业律师（即我本人，赵亮华律师，专注于工伤赔偿、合同纠纷领域）的意见和帮助。

总结：入职公立医院半个月还未签订劳动合同可能涉及多种情况，包括医院流程问题、故意拖延或违反法律规定等。您应根据具体情况采取相应的措施来维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。