关于老师住院学校工会是否应该探望的问题，这主要取决于学校工会的具体制度和规定，但通常来说，学校工会是有责任和义务对住院的教职工进行探望和慰问的。以下是一些详细的解释和依据：

首先，从工会的基本职责来看，根据《中国工会章程》的规定，中国工会的基本职责是维护职工的合法权益，这包括关心职工的生活状况，提供必要的帮助和支持。当教职工生病住院时，工会进行探望和慰问，正是履行这一职责的具体体现。

其次，从多个学校工会的实际制度来看，如瀚文小学和教育工会都制定了相关的走访慰问制度。这些制度明确规定了，当教职工或其直系亲属生病住院时，工会应该组织相关人员进行探望和慰问，并给出了具体的慰问标准和形式。例如，瀚文小学规定，在职教职工患病住院的，由工会牵头，学校党政领导和相关处室人员共同前往慰问，慰问品标准为每人每次500元左右。教育工会也规定，局机关工会会员生病住院由工会组织看望慰问，并给出了具体的慰问金额标准。

再者，从人文关怀和团队凝聚力的角度来看，工会探望住院的教职工，不仅能够传递组织的温暖和关怀，让教职工感受到学校的关心和支持，还能够增强学校的凝聚力和亲和力，激发教职工爱岗敬业的精神。

综上所述，当老师住院时，学校工会应该进行探望和慰问。这既是工会履行基本职责的体现，也是关心教职工生活、增强团队凝聚力的具体行动。当然，具体的慰问标准和形式可能会因学校工会的不同而有所差异，但总体来说，这一原则是普遍适用的。