结论前置：员工在合同到期5个月公司未续签的情况下，有权与公司解除合同，并可能获得相应的经济补偿。

详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同终止。若用人单位未与劳动者续订劳动合同，且继续用工的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，但此时用人单位应当及时与劳动者补订书面劳动合同。若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 在本案例中，合同到期后5个月公司未与员工续签合同，且继续用工，这违反了劳动合同法的规定。员工有权因此与公司解除合同，并要求公司支付相应的经济补偿。

2. 经济补偿的计算：

   • 经济补偿的计算通常依据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 具体到本案例，若员工在公司工作年限较长，且合同到期后公司未续签且继续用工5个月，员工在解除合同时，除了可能获得未续签合同期间的双倍工资差额（需视具体情况和当地劳动仲裁机构或法院的裁判观点而定）外，还有权根据工作年限获得相应的经济补偿。
   • 计算公式（以工作N年为例，且N≥1）：经济补偿金 = N个月工资（若N包含小数，则按实际工作月数折算，如工作1年3个月，则经济补偿金为1.5个月工资）。若工作不满6个月，则经济补偿金为0.5个月工资。同时，对于未续签合同期间的双倍工资差额，需根据实际未续签月数计算（但需注意，此部分可能受诉讼时效等限制，且具体裁判观点可能因地区而异）。

3. 实际操作建议：

   • 员工在决定与公司解除合同前，应先与公司进行沟通，明确表达自己的诉求和依据，尝试通过协商解决问题。
   • 若协商无果，员工可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求公司支付未续签合同期间的双倍工资差额（如适用）和经济补偿金。
   • 在申请劳动仲裁前，员工应收集好相关证据，如劳动合同、工资单、工作证明等，以证明自己的工作年限和工资水平。

4. 可能的风险与注意事项：

   • 员工在解除合同前应确保自己已履行了所有工作义务，并保留好相关证据，以避免公司以员工违约等理由进行抗辩。
   • 员工在申请劳动仲裁时，应注意仲裁时效的问题，通常应在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出。
   • 不同地区的劳动仲裁机构或法院可能对类似案件有不同的裁判观点，员工在申请仲裁前应了解当地的相关规定和裁判实践。

总结：员工在合同到期5个月公司未续签的情况下，有权与公司解除合同，并可能获得相应的经济补偿。员工在行使这一权利时，应了解相关法律规定和实际操作建议，以确保自己的权益得到充分保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。