结论前置：公司三个月试用期过后延期是否合法，需根据具体情况判断。一般情况下，若原试用期已符合法定上限且双方无特殊约定，则延期不合法；但在特定条件下，如双方协商一致、存在法定事由且延长后未超法定上限等，延期可能是合法的。
详细分析：
一般情况下不合法：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，试用期的时长与劳动合同的期限紧密相关，且同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。若劳动合同中约定的试用期已经履行完毕，且该试用期符合法律规定（如劳动合同期限三年以上，试用期不超过六个月），那么用人单位在试用期结束后提出延长试用期，通常是违法的。因为法律明确规定，同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期，且试用期的时长有明确的上限。
特定条件下可能合法：
- 双方协商一致且书面确认：如果用人单位与劳动者在原试用期届满前，就延长试用期达成了一致意见，并且这种一致意见是明确的、书面的，那么延长试用期可能是合法的。但需注意，延长后的总试用期时长不能超过法律规定的最长期限。
- 存在法定事由：如劳动者在试用期内被证明不符合录用条件，或者出现不能胜任工作等法定情形，公司可以在与劳动者协商一致后，适当延长试用期。这需要公司有明确的录用条件和考核标准，并能提供充分证据支持其决定。
- 延长后未超法定上限：即使双方协商一致延长试用期，延长后的总试用期时长也不能超过法律规定的最长期限。例如，原劳动合同期限为一年以上不满三年，原试用期为二个月，若延长一个月，则总试用期为三个月，未超过法定上限，此时延长可能是合法的。
劳动者权益保护：
- 如果用人单位在试用期结束后非法提出延长试用期，劳动者有权拒绝，并可以向当地劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，以维护自己的合法权益。劳动者应当保留好相关证据，如劳动合同、试用期约定书、沟通记录等，以便在必要时进行维权。
举例说明：
- 假设小李与公司签订了三年期限的劳动合同，约定试用期为六个月。在六个月试用期即将结束时，公司认为小李在某些方面还需进一步考察，于是与小李协商延长试用期一个月，并签订了书面协议。由于延长后的总试用期未超过法定上限（六个月），且双方协商一致，因此这种延长是合法的。
- 相反，如果小张与公司签订了一年期限的劳动合同，约定试用期为二个月。在二个月试用期结束后，公司未经小张同意，单方面决定延长试用期一个月。由于这种延长未经劳动者同意，且可能超过法定上限（若视为重新约定试用期则违法），因此这种延长是非法的。
建议：
- 对于用人单位而言，应严格遵守《劳动合同法》关于试用期的规定，避免违法约定试用期而引发不必要的法律纠纷和经济损失。
- 对于劳动者而言，应了解自己的权益，如认为公司行为不合法，可与公司沟通或向劳动部门投诉。在必要时，可直接向我咨询以维护自己的合法权益。