可以申请劳动仲裁。针对您提出的“抑郁症没请假被开除是否可以申请劳动仲裁”的问题，我将从多个角度为您详细分析：
一、法律背景与依据
劳动仲裁的适用范围：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条，劳动仲裁适用于因确认劳动关系、订立、履行、变更、解除和终止劳动合同等发生的争议。您的情况属于因解除劳动合同而产生的争议，因此适用劳动仲裁。
用人单位解除劳动合同的合法性：
- 用人单位解除劳动合同必须符合法定条件，如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作等。若用人单位仅因您未请假（且未说明请假原因或未给予合理机会解释）而开除您，可能构成违法解除劳动合同。
抑郁症与请假的关系：
- 抑郁症是一种精神疾病，可能影响员工的工作能力和请假意愿。若您因抑郁症无法及时请假或未意识到需要请假，用人单位应给予一定的理解和宽容，而非直接开除。
二、可能的情况分析
若用人单位违法解除劳动合同：
- 您有权要求用人单位支付赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍。经济补偿金根据您在用人单位的工作年限和月工资计算。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿金 × 2 = (工作年限 × 月工资) × 2。例如，若您在用人单位工作了3年，月工资为5000元，则赔偿金为30000元。
若用人单位解除劳动合同合法但程序不当：
- 即使用人单位解除劳动合同的理由合法，但若未按照法定程序进行（如未提前通知、未听取员工意见等），您仍可能有权要求用人单位支付经济补偿金或要求恢复劳动关系。
若您存在过错（如故意不请假）：
- 若您确实存在故意不请假等过错行为，且该行为严重违反了公司规章制度，用人单位解除劳动合同可能是合法的。但在此情况下，您仍可以就解除劳动合同的程序是否合法、经济补偿是否合理等问题申请劳动仲裁。
三、法律建议与行动步骤
收集证据：
- 收集与抑郁症相关的医疗证明、请假记录（如有）、用人单位解除劳动合同的通知等证据，以证明您的病情和用人单位的行为。
咨询专业律师（即我）：
- 在申请劳动仲裁前，建议您咨询专业律师（也就是我啦），了解您的具体权益和可能的法律后果。我可以根据您的具体情况，为您提供更详细的法律建议和策略。
申请劳动仲裁：
- 向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并附上相关证据和材料。仲裁委员会将依法审理您的案件，并作出裁决。
考虑后续诉讼：
- 若对仲裁裁决不服，您还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼，以维护您的合法权益。
总结：抑郁症没请假被开除，您完全有权申请劳动仲裁。在申请前，请务必收集好相关证据，并咨询专业律师（我）以了解您的具体权益和可能的法律后果。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。