核心结论：菜刀砍伤三厘米的赔偿问题，需根据伤情鉴定结果、侵权责任划分及实际损失情况综合确定，具体赔偿项目和金额需结合个案细节分析。以下分情况说明：

1. 伤情鉴定与法律定性

• 轻微伤：若伤口长度3厘米未涉及重要器官或功能损伤，通常鉴定为轻微伤，属于民事侵权范畴，赔偿以民事赔偿为主。
• 轻伤或重伤：若伤口虽短但涉及面部、关节等特殊部位，或伴随骨折、神经损伤等，可能构成轻伤甚至重伤，此时可能涉及刑事责任（如故意伤害罪），赔偿需结合刑事附带民事诉讼或单独民事诉讼处理。

2. 赔偿项目与标准

无论是否构成刑事案件，赔偿项目通常包括：

• 医疗费：实际支出的治疗费用（需提供发票、病历等证据）。
• 误工费：根据受害者收入减少情况计算（需提供收入证明、误工时间证明）。
• 护理费：若需专人护理，按护理人员收入或当地护工标准计算。
• 营养费：根据医嘱或实际需要酌情支持。
• 交通费：就医产生的合理交通费用。
• 精神损害抚慰金：若伤情导致严重精神痛苦（如面部疤痕影响容貌），可主张此项赔偿，但需结合伤情和当地司法实践。

3. 责任划分与赔偿比例

• 完全责任：若加害方存在故意或重大过失（如持刀伤人），通常承担全部赔偿责任。
• 部分责任：若双方存在过错（如争执中互相推搡导致受伤），可能按过错比例分担责任（如加害方承担70%，受害方承担30%）。
• 无过错责任：极少数情况下（如加害方无民事行为能力），可能由监护人或相关责任方承担赔偿。

4. 赔偿流程建议

• 协商解决：双方可自行协商赔偿金额，签订书面协议。
• 调解或诉讼：若协商不成，可向人民调解委员会申请调解，或直接向法院起诉。若涉及刑事案件，可在刑事诉讼中提起附带民事诉讼。
• 证据收集：务必保留医疗记录、费用发票、伤情照片、证人证言等证据，以支持赔偿主张。

5. 特殊情形提示

• 保险理赔：若加害方有第三者责任险（如意外险），可向保险公司申请理赔。
• 刑事附带民事诉讼：若构成刑事案件，受害方可在刑事诉讼中一并主张赔偿，但精神损害抚慰金可能不被支持（需结合当地司法实践）。

温馨提示：赔偿金额需结合具体伤情、地区经济水平、双方过错程度等因素综合确定，建议尽快委托专业律师介入，通过法律程序维护权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。