结论：未签劳动合同工作4年半后被老板辞退，您可以主张的赔偿主要包括未签订书面劳动合同的双倍工资差额（但需注意时效问题，可能无法全额主张）以及违法解除劳动合同的赔偿金。
详细分析：
未签订书面劳动合同的双倍工资差额：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：由于您已经工作了4年半，理论上，从第二个月开始到第十二个月，您有权主张双倍工资差额，即最多11个月的双倍工资差额。但需要注意的是，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，您可能无法全额主张这11个月的双倍工资差额，具体能主张多少个月，需根据您实际提起仲裁的时间以及当地的具体实践来确定。
- 示例：假设您的月工资为5000元，且您能在时效期内主张6个月的双倍工资差额，那么您能获得的赔偿为5000元/月 × 6月 = 30000元（此示例仅用于说明计算方式，实际金额需根据具体情况确定）。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 计算方式：经济补偿的标准是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，您工作了4年半，应获得4.5个月工资的经济补偿，违法解除的赔偿金则是这个数额的两倍，即9个月工资的赔偿金。
- 示例：继续以月工资5000元为例，您能获得的违法解除劳动合同的赔偿金为5000元/月 × 9月 = 45000元。
综合建议：
- 及时行动：由于劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，建议您尽快收集相关证据（如工资条、工作证、同事证言等），以证明您与用人单位之间存在事实劳动关系，并尽快向当地劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。
- 专业咨询：在提起仲裁前，您可以进一步向我咨询，我会根据您的具体情况，为您提供更详细的法律建议和仲裁策略。
- 准备证据：在仲裁过程中，证据的充分性和有效性至关重要。因此，您需要尽可能收集并整理好所有能证明您与用人单位之间存在劳动关系以及用人单位违法解除劳动合同的证据。