若立遗嘱时明确指定了存单本金及利息归孩子所有，续存行为不影响遗嘱效力，孩子仍有权继承该存单最终的本息总和；若遗嘱未明确续存安排，则需结合遗嘱整体条款、立遗嘱人真实意愿及法律规定综合判断继承权归属。具体分析如下：
一、遗嘱已明确存单继承范围（含续存本息）
若立遗嘱时明确写明“本人名下XX银行存单（账号：XXX，原存期3年）及到期后续存的本金、利息均由孩子XXX继承”，则续存行为属于遗嘱执行范围内的财产管理行为，不影响继承权归属。孩子有权在立遗嘱人去世后，凭遗嘱、存单及身份证明文件，向银行主张继承存单当前的本息总和（包括续存期间产生的利息）。
法律依据：根据《民法典》第1133条，自然人可立遗嘱将个人财产指定由法定继承人中的一人或数人继承。遗嘱对财产的描述需具体明确，若已涵盖续存本息，则属于合法有效的财产处分。
二、遗嘱未明确续存安排，需结合其他证据判断
若遗嘱仅写明“XX银行存单（账号：XXX）由孩子XXX继承”，未提及续存问题，则需进一步分析：
- 立遗嘱人真实意愿：若续存行为是立遗嘱人生前自主决定（如立遗嘱后亲自办理续存手续），且无相反证据表明其改变继承意愿，可推定续存本息仍属于遗嘱范围，孩子有权继承。
- 续存行为性质：若续存是银行自动转存（非立遗嘱人主动操作），需结合立遗嘱时的存款期限、利率约定等，判断立遗嘱人是否默认接受续存规则。若存款合同明确约定“到期自动转存”，且立遗嘱时未提出异议，可视为其接受续存安排，孩子仍有权继承。
- 其他继承人异议：若其他继承人主张续存本息不属于遗嘱范围，需提供证据证明立遗嘱人曾明确表示排除续存部分（如书面声明、录音录像等）。若无证据，法院可能根据《民法典》第1142条“遗嘱人可以撤回、变更自己所立的遗嘱”，结合续存行为与立遗嘱时间的间隔、立遗嘱人健康状况等，综合判断是否构成遗嘱变更。
三、实务建议
- 补充遗嘱条款：若立遗嘱人仍健在，建议通过公证遗嘱或律师见证遗嘱，明确续存本息的继承安排，避免后续纠纷。
- 保留续存证据：若已续存，建议保存续存凭证（如银行回单、自动转存记录等），证明续存行为符合立遗嘱人意愿。
- 及时办理继承手续：立遗嘱人去世后，孩子应尽快凭遗嘱、死亡证明、亲属关系证明等材料，向银行主张继承权。若银行要求公证，可向公证处申请办理继承权公证。
如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体案情提供详细解答。