结论前置：肇事司机死亡后，其家属是否需要承担赔偿责任，主要取决于两个关键因素：一是家属是否继承了肇事司机的遗产；二是家属对事故的发生是否存在过错。以下是对此问题的详细分析：

一、家属继承遗产的情况

1. 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。这意味着，如果肇事司机留有遗产且被家属继承，家属需在继承的遗产范围内对交通事故所造成的受害人损失承担赔偿责任。

2. 具体情况：

   • 若肇事司机需赔偿受害人一定金额，但遗留遗产价值低于该金额，家属只需在遗产价值范围内赔偿。例如，若肇事司机需赔偿50万元，但遗留遗产只有30万元，且家属继承了这30万元，那么家属需在这30万元范围内赔偿受害人。
   • 若遗产价值超过赔偿金额，家属则按实际赔偿金额进行赔偿。超出部分，家属无法定偿还义务，但可自愿偿还。

3. 放弃继承的情况：如果家属明确表示放弃继承肇事司机的遗产，根据法律规定，他们对肇事司机生前所负的交通事故赔偿债务可以不负清偿责任。此时，受害人只能就肇事司机遗留的财产进行索赔，无法向家属追讨。

二、家属对事故存在过错的情况

1. 判断标准：若家属明知肇事司机存在无证驾驶、醉酒驾驶等不适宜驾驶的情况，仍然将车辆提供给其驾驶，导致事故发生，则家属需基于自身过错承担相应的赔偿责任。

2. 赔偿责任范围：在这种情况下，家属的赔偿责任不仅限于继承的遗产范围内，而是根据其过错程度对受害人的损失进行赔偿。这可能包括直接经济损失（如医疗费用、残疾赔偿金等）以及可能的精神损害抚慰金等间接损失。

三、赔偿流程与建议

1. 赔偿流程：

   • 协商：首先尝试与肇事司机家属进行协商，讨论一次性支付或分期支付赔偿金的可能性。在协商过程中，可以明确赔偿金额、支付方式等细节。
   • 诉讼：若协商不成，可通过诉讼途径请求法院依法判决。法院将依据相关法律法规，结合案件具体情况作出公正合理的裁决。在诉讼过程中，需要提供充分的证据来支持自己的主张。

2. 法律建议：

   • 在处理此类问题时，建议及时收集相关证据（如事故认定书、医疗记录、费用发票等），以便在协商或诉讼中提供有力支持。
   • 由于这一问题涉及复杂的法律条款和实际情况，建议直接向我咨询，我会根据具体情况提供针对性的法律意见，并协助通过协商、调解或诉讼等方式解决赔偿纠纷。

总结与提醒：肇事司机死亡后，其家属是否需要承担赔偿责任需根据具体情况而定。在处理此类问题时，请务必保持冷静，及时收集证据，并寻求专业法律帮助以确保自身权益得到妥善保护。