结论：工人在工厂上班没有签合同，并不意味着工厂可以随时辞去工人，同样，工人也不能随意离职。具体能否随时离职或辞退，需根据实际用工时间和工厂是否存在过错行为来决定。

详细分析：

1. 入职一个月内的情况：

   • 根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
   • 在此期间内，如果工厂想要辞退工人，且工人没有过错，工厂通常需要支付实际工作时间的劳动报酬，并可能需要说明辞退理由（除非符合法定即时解除劳动合同的情形，如严重违反规章制度等）。
   • 如果工人想要离职，通常需要按照工厂的规章制度，提前告知工厂，如试用期内需提前三日通知，转正后则需提前三十日以书面形式通知。

2. 超过一个月不满一年的情况：

   • 如果工厂自用工之日起超过一个月不满一年未与工人订立书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条，工厂需要向工人每月支付两倍的工资，并补订书面劳动合同。
   • 在此情况下，工人可以工厂不签劳动合同为由提出离职，并有权要求工厂支付从第二个月起的双倍工资及经济补偿。经济补偿的标准为：按工人在工厂工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
   • 工厂不能随意辞退工人，除非工人存在严重违反规章制度等法定情形。

3. 满一年后的情况：

   • 如果工厂自用工之日起满一年未与工人订立书面劳动合同，视为已订立无固定期限劳动合同，工厂应立即补订书面劳动合同，并支付此前未签合同期间的双倍工资（受仲裁时效限制）。
   • 此时，工人辞职一般需提前三十日以书面形式通知工厂（试用期内则提前三日）。但如果工厂存在未及时足额支付劳动报酬、未依法缴纳社会保险费等法定过错情形，工人可随时解除劳动合同并主张经济补偿。
   • 工厂同样不能随意辞退工人，除非符合法定解除劳动合同的情形。

4. 辞职与辞退的规定与责任：

   • 无论是否签订书面劳动合同，工人与工厂之间仍存在实际的用工关系，即劳动关系仍然建立。因此，双方都应遵守辞职与辞退的规定，确保工作平稳过渡。
   • 如果工人或工厂未能遵守相关规定，可能给对方带来损失，并需承担相应法律责任。

5. 权益保障与建议：

   • 工人应收集能证明劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等，以便在需要时维护自己的合法权益。
   • 如果工人遇到工厂不签劳动合同、随意辞退或拖欠工资等违法行为，可以向当地劳动保障部门投诉举报或申请劳动仲裁。
   • 在离职或辞退过程中，建议双方进行协商，并尽可能达成书面协议，以避免不必要的法律纠纷。

总结与建议： 工厂未签劳动合同时，工人的辞职权利与工厂的辞退权利均非绝对自由，而是需依据实际用工时间和双方行为来判断。作为工人，应了解自己的合法权益，并在必要时依法维护。如果遇到任何法律问题或纠纷，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。