结论前置：公司未提前一个月通知辞退员工时，其赔偿责任需根据辞退的合法性及具体情形来确定，主要分为合法辞退但未提前通知和违法辞退两种情况。
一、合法辞退但未提前通知
若公司辞退员工符合《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形（如员工严重违反规章制度、严重失职等），且公司有确凿证据支持，则属于合法解除。但即便如此，若公司未提前三十日以书面形式通知员工，仍需支付代通知金。
代通知金：根据《劳动合同法》第四十条，公司需额外支付员工一个月工资作为代通知金。此“一个月工资”通常指员工劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包括基本工资、奖金、津贴等货币性收入。
经济补偿金（若适用）：若员工因公司合法原因（非过错性解除）被辞退，且符合支付经济补偿金的条件（如公司因经营状况发生严重困难等经济性裁员），则公司还需按员工在本单位工作年限支付经济补偿金。具体为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
二、违法辞退
若公司辞退员工不属于上述法定情形，或虽属于可解除情形但未提前一个月书面通知，则构成违法解除。此时，员工有权选择要求继续履行劳动合同或要求公司支付赔偿金。
赔偿金：根据《劳动合同法》的相关规定，公司应按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。即，员工在公司工作的每一年，都能获得两个月工资的赔偿。赔偿金计算年限自用工之日起计算。
特殊情况：对于孕期、产期、哺乳期的女职工，公司违法辞退除需支付双倍赔偿金外，还可能需支付孕期、产期、哺乳期的工资，并补缴社保。
三、具体赔偿金额计算示例
假设某员工在公司工作3年8个月，月薪6000元，被违法辞退且未获提前通知：
四、维权途径与建议
协商：员工首先可尝试与公司进行协商，要求按照法律规定支付相应赔偿或补偿。
劳动仲裁：协商不成时，员工可向当地劳动监察部门投诉，或依法向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司承担法律责任。
诉讼：若对仲裁结果不服，员工还有权向法院提起诉讼，要求公司支付赔偿金等。
证据收集：在整个过程中，员工应注意收集、保留相关证据，如劳动合同、工资发放记录、辞退通知等，以维护自己的合法权益。
总结：公司未提前一个月通知辞退员工的赔偿责任复杂多样，需根据具体情况进行判定。员工应明确自身权益，依法维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。