当公司未提前一个月通知即辞退员工时，赔偿问题的处理确实需要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，并结合具体情况来细致分析。以下是对这一问题的详细解答：

一、判断解除劳动合同的合法性

首先，要明确公司辞退员工的行为是否合法。如果公司辞退员工符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形，比如员工严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等，并且公司有确凿的证据支持，那么这种辞退是合法的，公司无需提前通知，也无需支付代通知金或经济补偿金。

然而，如果公司辞退员工不属于上述法定情形，或者虽然属于可解除情形但未提前一个月书面通知员工，那么这种辞退就构成违法解除。在这种情况下，员工有权选择要求继续履行劳动合同，或者要求公司支付赔偿金。

二、赔偿标准的具体分析

1. 代通知金：

   • 如果公司辞退员工符合《劳动合同法》第四十条规定的情形，比如员工患病不能胜任工作、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化等，但公司未提前三十日以书面形式通知员工，那么公司应额外支付一个月工资作为代通知金。
   • 代通知金的计算标准通常是按照劳动者上一个月的工资标准来确定。

2. 经济补偿金：

   • 如果员工因公司合法原因（非过错性解除）被辞退，且公司未提前通知，除了代通知金外，公司还需按员工在本单位的工作年限支付经济补偿金。具体计算方式是：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
   • 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果劳动者的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿金的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

3. 赔偿金：

   • 在违法解除的情况下，公司应按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。也就是说，员工在公司工作的每一年，都能获得两个月工资的赔偿。

三、特殊情况的处理

• 对于在公司工作10年以上的员工，如果属于合法辞退，公司通常无需支付经济补偿（但需注意，某些特定情况下，如双方协商一致解除劳动合同，公司仍需支付经济补偿）。如果属于违法辞退，公司则需支付二倍的经济补偿作为赔偿金。

四、操作建议与注意事项

1. 判断解除合法性：员工在面临辞退时，应首先判断公司的解除行为是否合法，并收集、保留相关证据以维护自己的权益。

2. 与公司协商：如果认为公司构成违法解除，员工可以先与公司进行协商，要求按照法律规定支付相应赔偿或补偿。

3. 法律途径：如果协商无果，员工可以向劳动监察部门投诉，或者依法向劳动仲裁机构申请仲裁。对仲裁结果不服的，员工还有权向法院提起诉讼。

4. 专业咨询：在整个过程中，建议员工咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助，确保自身权益得到充分保障。

综上所述，公司未提前一个月通知辞退员工的赔偿问题，需根据解除行为的合法性、员工的工作年限及具体情况来确定。员工应充分了解相关法律法规，积极维护自己的合法权益。