结论前置：辞职到期后，公司不可以随意辞退员工，必须遵循相关法律法规的规定。
详细分析：
辞职到期后的劳动关系状态：
- 当员工提出辞职并到期后，按照《中华人民共和国劳动合同法》的规定，员工与公司的劳动关系原则上应当终止。但这里的关键是“原则上”，因为实际终止还需考虑双方是否已经完成工作交接、工资结算等后续事宜，且不存在其他未了结的劳动争议。
公司辞退员工的合法性：
- 如果员工已经按照法定程序提出了辞职，并且辞职期限已满，那么公司原则上不能再以“辞退”的方式结束劳动关系。因为此时劳动关系已经因员工的辞职而自然终止，无需公司再行辞退。
- 如果公司在员工辞职到期后，仍试图以“辞退”为名结束劳动关系，并可能涉及违法解除劳动合同的情况，那么员工有权依法维护自己的权益，包括要求公司支付经济补偿金或赔偿金等。
特殊情况下的处理：
- 如果员工在辞职到期后，因某些原因（如未完成工作交接、存在未了结的劳动争议等）仍需留在公司继续工作，那么此时双方应协商确定新的劳动关系状态，并签订相应的协议或补充协议。
- 如果公司在员工辞职到期后，发现员工存在严重违反公司规章制度或法律法规的行为，且该行为在辞职前已经存在但未被发现或处理，那么公司有权根据相关规定对员工进行处理，包括辞退。但这种情况下的辞退必须基于充分的事实和法律依据，且需遵循法定的程序。
法律建议：
- 对于员工而言，在提出辞职并到期后，应与公司妥善办理工作交接和工资结算等事宜，确保自己的权益不受损害。如果公司试图以不合法的方式结束劳动关系，员工应及时向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 对于公司而言，在员工辞职到期后，应尊重员工的辞职决定，并按照规定办理相关手续。如果公司需要员工继续工作或发现员工存在违规行为需要处理，应与公司员工协商确定新的劳动关系状态或依据相关规定进行处理，避免引发不必要的劳动争议。
可能法律后果：
- 如果公司违反规定随意辞退员工，可能面临劳动监察部门的处罚，包括罚款、责令改正等。
- 员工有权要求公司支付因违法解除劳动合同而产生的经济补偿金或赔偿金等，具体数额根据员工的工资、工作年限等因素确定。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。