当用人单位存在应当支付经济补偿而未支付的情况时，劳动者可以选择向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。具体选择哪种方式，应根据实际情况和争议性质来决定。以下是对两种途径的详细分析：

一、向劳动监察部门投诉

适用情形与优势：

• 劳动监察部门主要负责监督检查和纠正用人单位违反劳动法律法规的行为，特别是针对未按照规定支付经济补偿、拖欠工资、未依法缴纳社会保险等明显违法行为。
• 处理效率高：对于事实清楚、证据确凿的案件，劳动监察部门能迅速作出处理决定，责令用人单位限期改正并支付经济补偿。
• 程序简便：劳动者只需提交书面投诉材料说明问题，劳动监察部门会主动调查，减轻劳动者的举证责任。

局限性：

• 强制执行力有限：若用人单位拒绝执行劳动监察部门的决定，可能需要通过法院强制执行，这一过程可能较为漫长。

建议：

• 如果问题主要集中在用人单位的某一具体违法行为（如未支付经济补偿），且希望快速得到处理，向劳动监察部门投诉可能是更直接的选择。

二、申请劳动仲裁

适用情形与优势：

• 劳动仲裁适用于解决劳动者与用人单位之间因经济补偿、工资、工时、劳动保护等产生的争议，尤其是当双方对是否应支付经济补偿及数额存在较大分歧时。
• 裁决具有法律效力：劳动仲裁委员会作出的裁决具有强制执行力，可直接向人民法院申请强制执行。
• 全面解决争议：劳动仲裁过程中，劳动者可提出多项诉求，如未签订劳动合同的双倍工资、加班工资、社会保险补缴等，实现争议的全面解决。

局限性：

• 程序复杂：需要劳动者提交详细的书面申请材料，并参与仲裁庭审，承担一定的举证责任。
• 处理周期长：劳动仲裁涉及立案、审理、裁决等多个环节，整个过程可能需要数月甚至更长时间。

建议：

• 如果与用人单位之间的争议较为复杂，涉及多个劳动关系问题，或者希望通过司法程序确保裁决的强制执行，申请劳动仲裁是更为合适的选择。

三、综合建议与行动准备

在决定投诉或仲裁前，劳动者应做好以下准备：

• 收集证据：包括劳动合同、工资单、工作记录、与用人单位沟通经济补偿的聊天记录或邮件等，以证明自己的权益受到侵害。
• 了解法律程序：可以查阅相关法律法规，了解投诉或仲裁的具体流程和要求，以便更好地维护自己的权益。

法律后果提示：

• 若选择向劳动监察部门投诉，需关注处理进度，并在必要时及时申请法院强制执行。
• 若选择申请劳动仲裁，需积极参与仲裁过程，按时提交证据和参加庭审，以确保裁决的公正性。

综上所述，劳动者在选择维权途径时，应根据自身情况和争议性质，权衡劳动监察部门投诉与劳动仲裁的利弊，选择最适合自己的方式。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。